Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-08-2013, 19:18
Avatar của Shirunai Okami
Shirunai Okami Shirunai Okami đang ẩn
$\Huge\mathfrak{POPEYE}$
Đến từ: HNUE
Nghề nghiệp: Tháo Giầy
Sở thích: Shingeki no Kyojin
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 510
Điểm: 180 / 6503
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 15713
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 541
Đã cảm ơn : 336
Được cảm ơn 905 lần trong 296 bài viết

Lượt xem bài này: 578
Mặc định Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $

Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Shirunai Okami 
Nguyễn Duy Hồng (20-08-2013)
  #2  
Cũ 19-08-2013, 21:38
Avatar của phudinhgioihan
phudinhgioihan phudinhgioihan đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Kiến Tường
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 28
Điểm: 3 / 356
Kinh nghiệm: 12%

Thành viên thứ: 15931
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 11
Đã cảm ơn : 11
Được cảm ơn 50 lần trong 9 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $

Đúng ra là không giải nhưng vì bài toán có liên qua tới sinh nhật 22-2 nên chém gió vậy

Ta biết rằng, hàm mũ tăng rất nhanh khi số mũ tăng lên dù chỉ là tăng rất ít, do đó, với $A \ge B>0$ thì $\left(\dfrac{A}{B}\right)^n \ge 1$ , khi $n$ càng lớn thì $\left(\dfrac{A}{B}\right)^n \gg 1 $, tức $A^n \gg B^n$, do đó về mặt lý thuyết, ta có thể đánh giá các số hạng trong $A^n$ bằng các bất đẳng thức đã biết để đưa về chứng minh bdt chặt hơn nhưng dễ chứng minh hơn.

Áp dụng tư tưởng này vào bài toán ta có thể giải như sau:

Trước tiên đưa về bdt thuần nhất để có thể sáng tạo lời giải tùy ý.

$$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $$

$$\Leftrightarrow (a+b+c)\left( \frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }}\right) \ge 2+\sqrt{22+\frac{(a+b+c)^3}{abc}} \;\;, \forall\; a,b,c \in \mathbb{R}_+^*$$

$$\Leftrightarrow (a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge 2\sqrt{abc}+\sqrt{22abc+(a+b+c)^3}$$

$$\Leftrightarrow (a+b+c)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2 \ge (a+b+c)^3+26abc+4\sqrt{abc}\sqrt{(a+b+c)^3+22abc} $$

$$\Leftrightarrow (a+b+c)^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \ge 13abc+2\sqrt{abc}\sqrt{(a+b+c)^3+22abc} \;\; ( * ) $$

Ta có:
$$VT_{(* )} =\frac{13}{27}(a+b+c)^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ ca})+\dfrac{14}{27}(a+b+c)^2( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} )$$

$$ \ge 13abc+\dfrac{14}{27}(a+b+c)^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+ \sqrt{ca}) $$

Ta chứng minh

$$\dfrac{14}{27}(a+b+c)^2( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} ) \ge 2\sqrt{abc}\sqrt{(a+b+c)^3+22abc}$$

$$\Leftrightarrow 7(a+b+c)^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \ge 27\sqrt{abc}\sqrt{(a+b+c)^3+22abc} $$

$$\Leftrightarrow 49(a+b+c)^4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2 \ge 27^2abc((a+b+c)^3+22abc) \;\; \; ( ** )$$

Lại có

$$VT_{( ** )} \ge 49(a+b+c)^3.27abc $$

Ta chứng minh

$$49(a+b+c)^3.27abc \ge 27^2abc((a+b+c)^3+22abc)$$

$$\Leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge 27abc$$

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng theo AM-GM 3 số.

Như vậy bdt đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

P/s: Chỉ cần bình phương ta có thể thấy 2 vế của bdt chênh lệch lớn đến cỡ nào. Nếu giải tương tự như trên nhưng không bình phương thì bdt sau khi đánh giá bị sai.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (20-08-2013), Phạm Kim Chung (19-08-2013)
  #3  
Cũ 20-08-2013, 09:54
Avatar của Mai Tuấn Long
Mai Tuấn Long Mai Tuấn Long đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Mỹ Đức- HN
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 651
Điểm: 307 / 9374
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 2893
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 922
Đã cảm ơn : 795
Được cảm ơn 1.455 lần trong 649 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} \ge 2 + \sqrt {22 + \frac{1}{{abc}}} $
Dồn biến bài này lại khá đơn giản !

Giả sử $c=Min${$a;b;c$}$\Rightarrow c\leq \dfrac{1}{3}$

Đặt: $f(a;b;c)=\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {bc} }} - 2 +-\sqrt {22 + \dfrac{1}{{abc}}} $

Với $t=\sqrt{ab}$ ta có:

$f(a;b;c)-f(t;t;c)=\dfrac{1}{\sqrt{ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}} $ $-\dfrac{2}{\sqrt{tc}}$ $=\frac{1}{\sqrt{c}}$ $\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{a}}-\dfrac{1}{\sqrt[4]{b}} \right)^2\geq 0$

$\Rightarrow f(a;b;c)\geq f(t;t;c)$

Lại có:$a+b+c=1$ $\Rightarrow abc\leq \dfrac{1}{27}$ $\Leftrightarrow t^2c\leq \dfrac{1}{27}$ $\Rightarrow t\leq \dfrac{1}{3\sqrt{3c}}$

$f(t;t;c)=\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{\sqrt{tc}}-2-\sqrt{22+\dfrac{1}{t^2c}}$ $\geq 3\sqrt{3c}+\dfrac{2\sqrt{3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{c}}-9$

Xét: $g(c)=3\sqrt{3c}+\dfrac{2\sqrt{3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{c}}-9$ $\Rightarrow g'(c)=\dfrac{\sqrt{3\sqrt{3}}}{2\sqrt{c}}$ $\left(\sqrt{3\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{c\sqrt{c}}} \right)\leq 0$

$\Rightarrow f(t;t;c)\geq g(c)\geq g(\dfrac{1}{3})=0$ $\Rightarrow f(a;b;c)\geq 0$, dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow $ đpcm


Để gió cuốn đi


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (20-08-2013), Nguyễn Duy Hồng (20-08-2013), Pary by night (20-08-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $x^2+y^2+\frac{3}{5}xy>1$ jupiterhn9x Bất đẳng thức - Cực trị 1 22-05-2016 13:41
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014