Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \\ $M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}} +\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 16-08-2013, 00:28
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 656
Điểm: 312 / 9853
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Lượt xem bài này: 508
Mặc định Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \\ $M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}} +\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a} }+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 17-08-2013, 20:21
Avatar của vannhonbclt
vannhonbclt vannhonbclt đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền Trung
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 120
Điểm: 16 / 1809
Kinh nghiệm: 82%

Thành viên thứ: 1025
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 49
Đã cảm ơn : 65
Được cảm ơn 56 lần trong 28 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \\ $M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}} +\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $

Ta có
$\sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c\left( {a + b + c} \right)}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}} \mathop \le \limits^{AM - GM} \frac{{\left( {a + b} \right)}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)$
Tương tự
$\begin{array}{l}
\sqrt {\frac{{bc}}{{bc + a}}} \le \frac{{\left( {b + c} \right)}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\\
\sqrt {\frac{{ac}}{{ac + b}}} \le \frac{{\left( {a + c} \right)}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)
\end{array}$
Vậy
$\begin{array}{l}
M \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{a + b}}{{b + c}} + \frac{{a + b}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b}} + \frac{{b + c}}{{a + c}} + \frac{{a + c}}{{b + c}} + \frac{{a + c}}{{a + b}}} \right)\\
\quad = \frac{1}{4}\left( {3 + \frac{{2a}}{{b + c}} + \frac{{2b}}{{a + c}} + \frac{{2c}}{{a + b}}} \right)\\
\quad = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{1 - a}} + \frac{b}{{1 - b}} + \frac{c}{{1 - c}}} \right)\\
\quad = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a - 1}} + \frac{b}{{b - 1}} + \frac{c}{{c - 1}}} \right)\\
\quad = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a - 1}} + \frac{1}{{b - 1}} + \frac{1}{{c - 1}} + 3} \right)\mathop \le \limits^{Cauchy - Schwarz} \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\frac{9}{{a + b + c - 3}} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
\end{array}$
Vậy $\max M = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$
Xin lỗi các bạn, mình có nhầm lẫn ở phần Cauchy-Schwarz, nhờ mọi người gở nốt


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  vannhonbclt 
N H Tu prince (17-08-2013)
  #3  
Cũ 17-08-2013, 21:28
Avatar của ndkmath1
ndkmath1 ndkmath1 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Hà Nội
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 318
Điểm: 72 / 4504
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 4163
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 216
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 289 lần trong 146 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \\ $M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}} +\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $

Sử dụng AM-GM, ta có

$M=\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c\left(a+b+c \right)}}=\sum \sqrt{\frac{a}{c+a}.\frac{b}{b+c}}\leq \frac{1}{2}\sum \left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c} \right)=\frac{3}{2}$

...


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 17-08-2013, 21:32
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 656
Điểm: 312 / 9853
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \\ $M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}} +\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $

Nguyên văn bởi vannhonbclt Xem bài viết
Ta có
$\sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c\left( {a + b + c} \right)}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}} \mathop \le \limits^{AM - GM} \frac{{\left( {a + b} \right)}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)$
Tương tự
$\begin{array}{l}
\sqrt {\frac{{bc}}{{bc + a}}} \le \frac{{\left( {b + c} \right)}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\\
\sqrt {\frac{{ac}}{{ac + b}}} \le \frac{{\left( {a + c} \right)}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)
\end{array}$
Vậy
$\begin{array}{l}
M \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{a + b}}{{b + c}} + \frac{{a + b}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b}} + \frac{{b + c}}{{a + c}} + \frac{{a + c}}{{b + c}} + \frac{{a + c}}{{a + b}}} \right)\\
\quad = \frac{1}{4}\left( {3 + \frac{{2a}}{{b + c}} + \frac{{2b}}{{a + c}} + \frac{{2c}}{{a + b}}} \right)\\
\quad = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{1 - a}} + \frac{b}{{1 - b}} + \frac{c}{{1 - c}}} \right)\\
\quad = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a - 1}} + \frac{b}{{b - 1}} + \frac{c}{{c - 1}}} \right)\\
\quad = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a - 1}} + \frac{1}{{b - 1}} + \frac{1}{{c - 1}} + 3} \right)\mathop \le \limits^{Cauchy - Schwarz} \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\frac{9}{{a + b + c - 3}} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
\end{array}$
Vậy $\max M = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$
Xin lỗi các bạn, mình có nhầm lẫn ở phần Cauchy-Schwarz, nhờ mọi người gở nốt
$ \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a - 1}} + \frac{1}{{b - 1}} + \frac{1}{{c - 1}} + 3} \right)\mathop \le \limits^{Cauchy - Schwarz} \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\frac{9}{{a + b + c - 3}} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
$


Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$M=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a} }+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} $$
Ta có
$$\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c(a+ b+c)}}=\sqrt{\dfrac{ab}{(b+c)(a+c)}} \le \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c} \right) $$
Tương tự ta có
$$\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}} \le \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+a} \right) $$
$$\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} \le \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{b+a} \right) $$
Cộng vế theo vế lại ta có ...



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (17-08-2013), Pary by night (17-08-2013), vannhonbclt (22-08-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho x,y là 2 số thực dương thoả mãn xy = 2. Tìm Min của biểu thức $M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}$ caoyng_neu Chương trình Toán lớp 9 1 13-02-2017 21:55
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M= 2016\left(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}\right)-(a+b+c)\left(\dfrac{2015}{a}+ \dfrac{2015}{c}\right)$ Lê Đình Mẫn Bất đẳng thức - Cực trị 0 30-05-2016 17:19
Cho các số thực dương $a, b, c$. Tìm GTNN của biểu thức. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 1 16-05-2016 13:10
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều $(\sqrt x + 1)\sqrt y + 1) \ge 4$ xuanvy2005 Bất đẳng thức - Cực trị 1 25-04-2016 18:18



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014