Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi x\in R. - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Phương trình Hàm - Đa thức

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 14-08-2013, 21:04
Avatar của Tống Văn Nghĩa
Tống Văn Nghĩa Tống Văn Nghĩa đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: THPT
Nghề nghiệp: ABC
Sở thích: Tự do
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 548
Điểm: 210 / 7909
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 2652
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 631
Đã cảm ơn : 329
Được cảm ơn 485 lần trong 271 bài viết

Lượt xem bài này: 800
Mặc định [Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.



Còn sống là còn nỗ lực


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 18-08-2013, 21:23
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9673
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định Re: [Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.

Nguyên văn bởi tongvannghia Xem bài viết
[Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.
Bài giải:
Giả sử f(x) là hàm cần tìm:$f(x+y)=f(x).f(y)$(1)
Thay $x=y=\dfrac{1}{2}=\dfrac{z}{2}$ vào (1) ta có
$$f(z)=f^2 \left(\dfrac{z}{2} \right).$$
$$\Rightarrow f(x) \geq 0; x \in R.$$
Giả sử tồn tại $x_o$ mà $f(x_o)=0$, khi đó với mọi z:
$$f(x_o+t)=f(x_o)+f(t)=0.$$
Từ đó ta có $$f(x) \equiv 0.$$
Điều này mâu thuẫn với f không phải là hàm đồng nhất bằng 0.
Như vậy kết hợp với trên ta có f(x)>0.
Đặt t=f(1) theo đó thì t>0 do đó:
$$\log_t f(z)=\varphi(z).$$
Do f(z) liên tục với mọi z nên $\varphi (z)$ cũng liên tục trên toàn trục số:
Theo đó với mọi x, mọi y thì:
$$\varphi(x+y)=\log_t [f(x+y)]=\log_t [f(x).f(y)]=\varphi(x) + \varphi (y).$$
Nên hàm $\varphi(z)$ thỏa mãn bài toán .
Tiếp theo ta chỉ ra $\varphi (z)= mz$
Cả một vấn đề thời gian đánh công thức rồi:
Cho f(x) là hàm liên tục mà f(x+y)=f(x)+f(y) (2)với mọi x, khi đó f(x)=ax.
Cho x=y ta có f(2x)=2f(x)
Theo quy nạp ta có f(nx)=nf(x).
Từ đó thay x bởi $\dfrac{x}{n}$ ta có:
$$f \left(\dfrac{x}{n} \right)=\dfrac{1}{n} f(x).$$
Giả sử r là số hữu tỉ dương tùy ý $r=\dfrac{p}{q}$ với p, q nguyên dương:
$$f(rx)=f( \dfrac{p}{q} x)=p f(\dfrac{x}{q})=\dfrac{p}{q} f(x)=rf(x).$$
Vậy ta có f(rx)=rf(x) với mọi số hữu tỉ dương.
Đặt x=y=0 thì từ (2) ta có f(0)=0.
Thay y=-x ta có f(-x)=-f(x).
Giải sử r là số hữu tỉ âmm thì -r là số hữu tỉ dương
$$f(rx)=-f(-rx)=rf(x).$$
Như vậy f(rx)=rf(x) với mọi số hữu tỉ.
Giả sử s là số vô tỉ tùy ý:
$$s=\lim_{n \rightarrow + \propto} r_n.$$
Với $r_n$ là các số hữu tỉ.
Do tính liên tục của f(x):
$$f(s x)= \lim_{n \rightarrow + \propto} f(r_n x)= \lim_{n \rightarrow + \propto}(r_n f(x))=f(x) \lim_{n \rightarrow + \propto} r_n=sf(x).$$
Như vậy với mọi số thực t thì:
$$f(t)=tf(x).$$
Trong dó thay t=1 và đặt a=f(1) ta có f(x)=ax là hàm cần tìm(thử lại thỏa mãn).
Trở lại bài toán ban đầu.
$$\varphi (z) =mz, m=const \rightarrow f(z)=a^{mz}.$$
Do f(10=a nên m=1
Thử lại hàm $f(x)=a^x$ thoản mãn.
Vậy hàm $f(x)=a^x$ là hàm cần tìm.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  NTH 52 
Tống Văn Nghĩa (21-08-2013)
  #3  
Cũ 21-08-2013, 12:26
Avatar của Tống Văn Nghĩa
Tống Văn Nghĩa Tống Văn Nghĩa đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: THPT
Nghề nghiệp: ABC
Sở thích: Tự do
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 548
Điểm: 210 / 7909
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 2652
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 631
Đã cảm ơn : 329
Được cảm ơn 485 lần trong 271 bài viết

Mặc định Re: [Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.

Bài làm của bạn hay nhưng hơi dài, có cách nào ngắn hơn không bạn ?

MOD: Không trích dẫn lại bài viết quá dài nhé bạn!


Còn sống là còn nỗ lực


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 21-08-2013, 12:54
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 4959
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định Re: [Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.

Nguyên văn bởi tongvannghia Xem bài viết
[Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ (1) $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.
Nếu $f \equiv 0$ thì (1) luôn đúng.
Nếu tồn tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)\neq 0$ thì
$$f(x_0)=f(x+(x_0-x))=f(x).f(x_0-x)\neq 0 ;\; \; \forall x\in \mathbb{R}$$

$$\Rightarrow f(x) \neq 0, \forall x\in \mathbb{R}$$
$$\Rightarrow f(x)=f\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2} \right )=f\left(\frac{x}{2} \right ).f\left( \frac{x}{2}\right )=\left[f\left(\frac{x}{2} \right ) \right ]^2>0 \; \forall x\in \mathbb{R}$$

Đặt $g(x)=\ln f(x); x\in \mathbb{R}$
$$\Rightarrow g(x)+g(y)=\ln f(x)+\ln f(y)=\ln [f(x).f(y)]=\ln [f(x+y)]=g(x+y) \;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do đó theo phương trình hàm Cauchy ta có
$g(x)=bx ; \forall x\in \mathbb{R}$ (với $b=const$)

$f(x)=(e^b)^x=a^x$ (với $a=e^b >0$

Vậy $f(x)\equiv 0 \vee f(x) \equiv a^x (a>0)$.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Tống Văn Nghĩa (21-08-2013), Trọng Nhạc (21-08-2013)
  #5  
Cũ 21-08-2013, 13:34
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9673
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định Re: [Giúp mình bài này] Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thoả $f(x+y)=f(x).f(y)$ $(mọi..x,y\in R)$. CMR :$f(x)=a^{x}$ , mọi $x\in R$.

Nguyên văn bởi Inspectorgadget Xem bài viết
Nếu $f \equiv 0$ thì (1) luôn đúng.
Nếu tồn tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)\neq 0$ thì
$$f(x_0)=f(x+(x_0-x))=f(x).f(x_0-x)\neq 0 ;\; \; \forall x\in \mathbb{R}$$

$$\Rightarrow f(x) \equiv 0, \forall x\in \mathbb{R}$$
$$\Rightarrow f(x)=f\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2} \right )=f\left(\frac{x}{2} \right ).f\left( \frac{x}{2}\right )=\left[f\left(\frac{x}{2} \right ) \right ]^2>0 \; \forall x\in \mathbb{R}$$

Đặt $g(x)=\ln f(x); x\in \mathbb{R}$
$$\Rightarrow g(x)+g(y)=\ln f(x)+\ln f(y)=\ln [f(x).f(y)]=\ln [f(x+y)]=g(x+y) \;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do đó theo phương trình hàm Cauchy ta có
$g(x)=bx ; \forall x\in \mathbb{R}$ (với $b=const$)

$f(x)=(e^b)^x=a^x$ (với $a=e^b >0$

Vậy $f(x)\equiv 0 \vee f(x) \equiv a^x (a>0)$.
Trả lời:
Thực chất phần dài của tôi là chứng minh lại phương trình hàm Cauchy.
Cách giải của bạn và tôi không khác nhau là mấy.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
cmr f(x) liên tục trên r, với mọi r f(rx) = rf(x), với mọi r f(rx) = rf(x) với mọi x
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014