Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 31-07-2013, 23:19
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7022
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Lượt xem bài này: 4186
Mặc định Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Với $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$, ta luôn có:
  • $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq-3r$
  • $ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=p^2q-2q^2-pr$
  • $(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)=p^2+q$
  • $a^2+b^2+c^2=p^2-2q$
  • $a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$
  • $a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$
  • $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr$
  • $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=q^3-3pqr+3r^2$
Với $a,b,c\geq 0$, ta có
  • $p^2\geq 3q$
  • $p^3\geq 27r$
  • $q^3\geq 27r^2$
  • $q^2\geq 3pr$
  • $pq\geq 9r$
  • $2p^3+9r\geq 7pq$
  • $p^2q+3pr\geq 4q^2$
  • $p^4+4q^2+6pr\geq 5p^2q$
  • $r\geq\frac{p(4q-p^2)}{9}$ (bất đẳng thức Schur)
NỘI QUY
  • Đề bài phải được đánh số thứ tự
  • Lời giải phải trình bày chi tiết và đúng phương pháp (Không được phép giải qua loa)
CÁC BÀI VI PHẠM NỘI QUY XÓA KHÔNG BÁO TRƯỚC
Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
$$a+b+c+\frac{6}{ab+bc+ca}\geq 5$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
A Child (31-07-2013), Hồng Sơn-cht (01-08-2013), Lưỡi Cưa (01-08-2013), Phạm Kim Chung (13-08-2013), Tuấn Anh Eagles (31-07-2013)
  #2  
Cũ 01-08-2013, 21:44
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 627
Điểm: 282 / 9309
Kinh nghiệm: 11%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 848
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.462 lần trong 525 bài viết

Mặc định Re: Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

Nguyên văn bởi letrungtin Xem bài viết
Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
$$a+b+c+\frac{6}{ab+bc+ca}\geq 5$$
Bài này đã được giải bằng hai cách khác giờ mình chứng minh bằng $p,q,r$

Bất đẳng thức được viết lại
$$p + \frac{6}{q} \ge 5 \Leftrightarrow \left( {p - 5} \right)q + 6 \ge 0$$

Theo bất đẳng thức Schur ta có
$$r = 1 \ge \frac{{p\left( {4q - {p^2}} \right)}}{9} \Rightarrow q \le \frac{1}{4}\left( {\frac{9}{p} + {p^2}} \right)$$

- Nếu $p \ge 5$thì bất đẳng thức luôn đúng.
- Nếu $p < 5 \Rightarrow 3 \le p < 5$ khi đó
$$q\left( {p - 5} \right) + 6 \ge p\left[ {\frac{1}{4}\left( {\frac{9}{p} + {p^2}} \right) - 5} \right] + 6 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4}{p^3} - 5p + 6 = \frac{{{p^3} - 20p + 33}}{4} = \frac{{\left( {p - 3} \right)\left( {{p^2} + 3p - 11} \right)}}{4} \ge 0$$
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn

Bài 2. (VMO 2006 Bảng B) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)$$


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
letrungtin (01-08-2013), N H Tu prince (01-08-2013)
  #3  
Cũ 01-08-2013, 22:18
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7022
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Mặc định Re: Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

Nguyên văn bởi dangnamneu Xem bài viết
Bài 2. (VMO 2006 Bảng B) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)$$
Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}, z=\dfrac{1}{c}$
Ta có: $xyz=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
\[x^2+y^2+z^2+3\geq 2(xy+yz+zx)\quad (1)\]
Đặt $p=x+y+z, q=xy+yx+zx, r=xyz=1$
Khi đó: $(1)\Leftrightarrow p^2-2q+3\geq 2q\Leftrightarrow \frac{4q-p^2}{3}\leq 1$
Ta có: $p^3\geq 27r\Rightarrow p\geq 3$
Nếu $4q-p^2\leq 0$ thì (*) luôn đúng.
Nếu $4q-p^2>0$ thì theo bất đẳng thức Schur, ta có:
\[1=r\geq\frac{p(4q-p^2)}{9}\geq \frac{4q-p^2}{3}\quad (*)\]
Vậy (1) luôn đúng do (*)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  letrungtin 
Đặng Thành Nam (01-08-2013)
  #4  
Cũ 01-08-2013, 22:22
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 627
Điểm: 282 / 9309
Kinh nghiệm: 11%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 848
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.462 lần trong 525 bài viết

Mặc định Re: Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

Bài 3(Darij Grinberg) Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)$$


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 01-08-2013, 22:29
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7022
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Mặc định Re: Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

Lời giải bài 1
Ta có: $p\geq3$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
\[L=p+\frac{6}{q}\geq 5\]
Nếu $4q-p^2<0\Leftrightarrow p\geq 2\sqrt{q}$ thì
\[L\ge \sqrt{q}+\sqrt{q}+\frac{6}{q}\geq 3\sqrt[3]{6}>5\]
Nếu $4q-p^2\ge 0$ thì theo bất đẳng thức Schur, ta có:
\[1=r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}\geq \frac{4q-p^2}{3}\Rightarrow \frac{1}{q}\geq \frac{4}{3+p^2}\]
Bất đẳng thức hoàn toàn được chứng minh.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 01-08-2013, 22:37
Avatar của N H Tu prince
N H Tu prince N H Tu prince đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Di Linh
Nghề nghiệp: Ăn bám
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 411
Điểm: 116 / 5663
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 7368
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 350
Đã cảm ơn : 1.066
Được cảm ơn 563 lần trong 258 bài viết

Mặc định Re: Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

Nguyên văn bởi dangnamneu Xem bài viết
Bài 2. (VMO 2006 Bảng B) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)$$
Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{x}$,ta có $xyz=1$ và bất đẳng thức trở thành
$x^2+y^2+z^2+3\ge \frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}$
$\Leftrightarrow p^2-4q+3\ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức $\text{Schur}$
$r = 1 \ge \frac{{p\left( {4q - {p^2}} \right)}}{9} \Rightarrow q \le \frac{1}{4}\left( {\frac{9}{p} + {p^2}} \right)$
Suy ra $p^2-4q+3\ge p^2-\left(\frac{9}{p}p^2 \right)+3=3-\frac{9}{p}$
Ta cần chứng minh $3-\frac{9}{p}\ge 0$
Theo $AM-GM$ thì $p\ge 3\sqrt[3]{r}=3$
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1\Rightarrow \boxed{a=b=c=1}$

Bài 4:
Cho 3 số thực dương $a,b,c$,chứng minh rằng:
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)$$


Dẫu biết rằng đường đời nhiều sỏi đá

Chỉ mong rằng vấp ngã vẫn còn răng


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 01-08-2013, 23:08
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 627
Điểm: 282 / 9309
Kinh nghiệm: 11%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 848
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.462 lần trong 525 bài viết

Mặc định Re: Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r

Nguyên văn bởi N H Tu prince Xem bài viết
Bài 4:
Cho 3 số thực dương $a,b,c$,chứng minh rằng:
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)$$
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đặt $P = \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) - 9\left( {ab + bc + ca} \right)$.
Suy ra
$P = 8 + 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2} - 9\left( {ab + bc + ca} \right)$.
$ = 8 + 4\left( {{p^2} - 2q} \right) + 2\left( {{q^2} - 2pr} \right) + {r^2} - 9q = 4{p^2} + 2{q^2} - 17q - 4pr + {r^2} + 8$.
Sử dụng cô si và Schurc ta được: ${r^2} + 2 \ge 3\sqrt[3]{{{r^2}}} \ge \frac{{9r}}{p} \ge 4q - {p^2}$.
Suy ra $P \ge 3{p^2} + 2{q^2} - 13q - 4pr + 6 \ge 3{p^2} + 2{q^2} - 13q - \frac{4}{3}{q^2} + 6$.
$ = 3{p^2} + \frac{2}{3}{q^2} - 13q + 6 \ge 9q + \frac{2}{3}{q^2} - 13q + 6 = \frac{2}{3}{q^2} - 4q + 6 = \frac{{2{q^2} - 12q + 18}}{3} = \frac{{2{{\left( {q - 3} \right)}^2}}}{3} \ge 0$.
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
letrungtin (01-08-2013), N H Tu prince (01-08-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tài liệu phương pháp hàm số trong giải Hệ phương trình Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 0 25-05-2016 23:39
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. hoanghung [Tài liệu] Hình giải tích Oxy 0 17-05-2016 14:49
Chuyên đề tổng hợp về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Tai lieu [Tài liệu] Phương trình-BPT vô tỷ 0 15-05-2016 08:45
Tuyển tập Hệ phương trình giải được bằng phương pháp đánh giá Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 92 05-01-2016 11:15
Giải bài toán Hình Học Không Gian bằng phương pháp tọa độ hóa Ẩn Số [Tài liệu] Hình học Không Gian 1 31-05-2015 22:57



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
đổi, biến, luyện, pháp, phương, tai lieu chung minh bdt bang phuong phap p q r, tập, toan chung minh bt dang th, vmo 2006 bang b
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014