Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$ - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook  TRANG CHỦ giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook TÀI LIỆU MIỄN PHÍ giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook HỖ TRỢ GIẢI TOÁN giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook Upload-File giải toán, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook SIGN UP
 
toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook   K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen THẢO LUẬN TOÁN THPT QUỐC GIA toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen Đại số luyện thi Đại học toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook

  #1  
Cũ 30-07-2013, 10:54
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 25 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 62 / 622
Điểm: 277 / 7400
Kinh nghiệm: 91%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 833
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.450 lần trong 519 bài viết

Lượt xem bài này: 799
Mặc định Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng
$$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Giáo viên Toán tại website vted.vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Đặng Thành Nam 
Tuấn Anh Eagles (30-07-2013)
  #2  
Cũ 31-07-2013, 12:43
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 658
Điểm: 315 / 7072
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 262 lần trong 190 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Đặt $$a=2\cos A;b=2\cos B;c=2\cos C$$, A,B,C là các góc của 1 tam giác
Do $${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\cos A\cos B\cos C=1$$
Nên $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc=4\left( {{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C \right)+8\cos A\cos B\cos C=4$$
BĐT trở thành:
$$16-8\cos A\cos B\cos C\ge 8\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)+16\left( {{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}B{{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}C \right)$$
Do $$\cos A\cos B\cos C\le \frac{1}{8}\Rightarrow 16-8\cos A\cos B\cos C\ge 15$$
Vậy ta cần chứng minh $$8\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)+16\left( {{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}B{{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}C \right)\le 15$$
Do ta có $$\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)\le \frac{3}{2};\left( {{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}B{{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}C \right)\le \frac{3}{16}$$
Nên có đpcm


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lưỡi Cưa (31-07-2013), Đặng Thành Nam (31-07-2013)
  #3  
Cũ 31-07-2013, 13:02
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 25 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 62 / 622
Điểm: 277 / 7400
Kinh nghiệm: 91%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 833
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.450 lần trong 519 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Nguyên văn bởi dangnamneu Xem bài viết
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng
$$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$
LỜI GIẢI GỐC

Ý tưởng ra bài toán này của mình như sau
$4 - {a^2} = {b^2} + {c^2} + abc \ge 2bc + abc = bc\left( {a + 2} \right) \Rightarrow 2 - a \ge bc \Rightarrow 4 - 4a + {a^2} \ge {b^2}{c^2}$.
Một cách tương tự ta có
$4 - 4b + {b^2} \ge {c^2}{a^2};4 - 4c + {c^2} \ge {a^2}{b^2}$.
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên suy ra $12 - 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$.
$ \Leftrightarrow 16 - abc \ge {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 4\left( {a + b + c} \right)$.

Bài toán được chứng minh. Như vậy là đã có ba cách chứng minh cho bài toán này


Giáo viên Toán tại website vted.vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lưỡi Cưa (31-07-2013), phatthientai (31-07-2013)
  #4  
Cũ 31-07-2013, 13:04
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 658
Điểm: 315 / 7072
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 262 lần trong 190 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Chúng ta có thể tạo thêm nhiều bài tương tự vậy, bởi vì tất cả mấu chốt đều từ
$${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\cos A\cos B\cos C=1$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  phatthientai 
Đặng Thành Nam (31-07-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$16, $a, $a2, 4$, 4left, a2b2, abc, âm, b2, b2c2, c$, c$thỏa, c2, c2a2$$, các, chứng, cho, ge, không, mãn, minh, rằng, số, thỏa, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI-TOÁN THPT THÁNG 12.2011
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014