Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b} {c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)+3$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 24-07-2013, 23:34
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11961
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Lượt xem bài này: 692
Mặc định Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b} {c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)+3$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Phạm Kim Chung (09-08-2013), Tuấn Anh Eagles (04-08-2013)
  #2  
Cũ 25-07-2013, 00:16
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13457
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Nguyễn Duy Hồng Xem bài viết
Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b} {c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)+3$
P/S: Làm bài này nữa đi luyện cờ tướng để ngủ.
Hướng dẫn:

$\bullet$ Sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có $\dfrac{a}{b+c}\le \dfrac{a}{4b}+ \dfrac{a}{4c}$.
$\bullet$ Đặt $x= \dfrac{a}{b}, y= \dfrac{b}{c}, z= \dfrac{c}{a}\Rightarrow xyz=1$. Ta đưa về chứng minh BĐT sau:
\[3(x+y+z)\ge \sqrt{2}.\left(\sqrt{x+ \dfrac{1}{z}}+\sqrt{y+ \dfrac{1}{x}}+\sqrt{z+ \dfrac{1}{y}}\right) +3\\
\Leftrightarrow 3(x+y+z)\ge \sqrt{2}.\left(\sqrt{x(1+y)}+\sqrt{y(1+z)}+\sqrt{z (1+x)}\right) +3\ (1)\]
$\bullet$ Tiếp tục sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có
\[\sqrt{x(1+y)}+\sqrt{y(1+z)}+\sqrt{z(1+x)}\le \sqrt{(x+y+z)(x+y+z+3)}\]
$\bullet$ Đặt $t=x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$ ta có
\[(1)\iff 3t-3\ge \sqrt{2t(t+3)}\iff (t-3)(7t-3)\ge 0\text{ luôn đúng với }t\ge 3.\]
Bài toán đã được chứng minh hoàn toàn!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
Aku Khung (21-01-2014), N H Tu prince (25-07-2013), Nguyễn Duy Hồng (25-07-2013), Phạm Kim Chung (09-08-2013), thái bình (25-07-2013), Tuấn Anh Eagles (04-08-2013), Đặng Thành Nam (03-08-2013)
  #3  
Cũ 09-08-2013, 00:07
Avatar của buon qua
buon qua buon qua đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 15
Điểm: 2 / 194
Kinh nghiệm: 60%

Thành viên thứ: 15185
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 7
Đã cảm ơn : 1
Được cảm ơn 14 lần trong 6 bài viết

Mặc định Re: Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b} {c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)+3$

Nguyên văn bởi Nguyễn Duy Hồng Xem bài viết
Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b} {c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)+3$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3.$$
Bất đẳng thức đã cho được chứng minh nếu ta chỉ ra được rằng
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{ \frac{2c}{a+b}}.\ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$
Sử dụng Cachy-Schwarz ta được:
$$VT_{*}^2 \le 3\big(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+ \frac{2c}{a+b}\big) \le $$
$$\le \frac{3}{2}\big((\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{ a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+ \frac{a}{c})\big).$$
Khi đó, ta cần chứng minh:
$$\big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\big)^2 \ge \frac{3}{2}(\sum\frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a}).$$
Hay
$$2\sum\frac{a^2}{b^2}+\sum\frac{b}{a} \ge 3\sum\frac{a}{b}.$$
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Từ đó ta có đpcm.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nguyễn Duy Hồng (09-08-2013), Phạm Kim Chung (09-08-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$3leftfracab, >, 0, 2sqrt2leftsqrtfracab, 3$, chứng, cho, fracbc, fracca, minh, rightgeq, sqrtfracb, sqrtfracca
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014