Cho a,b,c>1 thoả mãn $a+b+c=abc$.Chứng minh $\left(a^{2} -1\right)\left(b^{2}-1 \right)\left(c^{2}-1 \right)\le 8$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 19-07-2013, 23:08
Avatar của hiếuctb
hiếuctb hiếuctb đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: THPT_Chuyên TB
Nghề nghiệp: hs
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 442
Điểm: 134 / 6230
Kinh nghiệm: 70%

Thành viên thứ: 4734
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 404
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 540 lần trong 253 bài viết

Lượt xem bài này: 757
Mặc định Cho a,b,c>1 thoả mãn $a+b+c=abc$.Chứng minh $\left(a^{2} -1\right)\left(b^{2}-1 \right)\left(c^{2}-1 \right)\le 8$

Cho a,b,c>1 thoả mãn $a+b+c=abc$.Chứng minh $\left(a^{2} -1\right)\left(b^{2}-1 \right)\left(c^{2}-1 \right)\le 8$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (20-07-2013), N H Tu prince (20-07-2013), Nguyễn Duy Hồng (19-07-2013)
  #2  
Cũ 20-07-2013, 12:20
Avatar của vutuanhien
vutuanhien vutuanhien đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: VMF
Nghề nghiệp: BTV
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 0
Điểm: 0 / 8
Kinh nghiệm: 2%

Thành viên thứ: 15183
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 2
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 3 lần trong 2 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi hiếuctb Xem bài viết
Cho a,b,c>1 thoả mãn $a+b+c=abc$.Chứng minh $\left(a^{2} -1\right)\left(b^{2}-1 \right)\left(c^{2}-1 \right)\le 8$
Do $a+b+c=abc$ nên tồn tại tam giác $ABC$ sao cho $a=\tan A, b=\tan B, c=\tan C$
BĐT đã cho có thể viết lại thành
$$\prod (\tan ^2A-1)\leq 8$$
Lấy logarit nepe của cả 2 vế thì BĐT trở thành
$$\ln (\tan ^2A-1)+\ln (\tan ^2B-1)+\ln (\tan ^2C-1)\leq 3\ln 2$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $A\geq \frac{\pi}{3}\geq C$, $B\leq \frac{2\pi}{3}$
Trường hợp 1
:$B\leq \frac{\pi}{3}$
Xét hàm $f(x)=\ln (\tan ^2x-1)$
Ta có $f''(x)=\frac{-\cos ^2x}{\sin ^2(2x)-\sin ^2x}$
Suy ra $f(x)$ là hàm lõm trên đoạn $\left[0;\frac{\pi}{3} \right]$ và $\left[\frac{2\pi}{3}, \pi \right]$; lồi trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3} \right]$
Áp dụng BĐT Jensen, ta có
$$f(B)+f(C)\leq 2f(\frac{B+C}{2})$$
$$\Leftrightarrow \ln (\tan ^2B-1)+\ln (\tan ^2C-1)\leq 2\ln (\tan ^2\frac{B+C}{2}-1)$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$(\tan ^2\frac{B+C}{2}-1)^2(\tan ^2A-1)\leq 8$$
$$\Leftrightarrow t(A)=(\cot ^2\frac{A}{2}-1)^2(\tan ^2A-1)\leq 8$$
Ta có $t'(A)=\frac{\sin A(2\sin A-1)}{\sin (\frac{A}{2})}$
$t'(A)=0\Leftrightarrow A=\frac{\pi}{3}$
Từ đây ta suy ra $t(A)_{max}=t(\frac{\pi}{3})=8$
Trường hợp 2:$\frac{\pi}{2}\geq B\geq \frac{\pi}{3}$
Xét 2 bộ $(A;B)$ và $(A+B-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3})$
Ta có
$\left\{\begin{matrix}
A+B-\frac{\pi}{3} &\geq &A \\
A+B-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} &= &A+B
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (A+B-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3})\succ (A;B)$
Áp dụng BĐT Karamata cho hàm lồi, ta có
$$f(A)+f(B)\leq f(A+B-\frac{\pi}{3})+f(\frac{\pi}{3})$$
$$\Rightarrow f(A)+f(B)+f(C)\leq f(A+B-\frac{\pi}{3})+f(\frac{\pi}{3})+f(C)$$
Do đó ta cần chứng minh
$$f(A+B-\frac{\pi}{3})+f(\frac{\pi}{3})+f(C)\leq 3\ln 2$$
Nhưng do $\frac{\pi}{3}, C\in \left[0;\frac{\pi}{3} \right]$ nên bài toán lại được đưa về trường hợp 1
Kết thúc chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi tam giác $ABC$ là tam giác đều


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
N H Tu prince (20-07-2013), Đặng Thành Nam (20-07-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$pfrac1sqrtx, $a, $lefta2, 1rightleftb21, 8$, c>1, c1sqrtx, cabc$chứng, của, cho, fra, frac1sqrty, giá, mãn, minh, nhất, nhỏ, rightle, rightleftc21, thoả, trị, xy, xz1tìm, yz, z$$, z>0
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014