Cho $a,b>0$. CMR: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{a}{b} + ab^2 \geq \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 10-07-2013, 15:16
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2529
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Lượt xem bài này: 782
Mặc định Cho $a,b>0$. CMR: $\frac{1}{a} + \frac{a}{b} + ab^2 \geq \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$

Cho $a$ và $b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{a} + \dfrac{a}{b} + ab^2 \geq \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (10-07-2013), Tuấn Anh Eagles (11-07-2013)
  #2  
Cũ 11-07-2013, 08:41
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 7806
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 985 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Haruki Xem bài viết
Cho $a$ và $b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{a} + \dfrac{a}{b} + ab^2 \geq \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$$
Bài này bình phương lên thì ta cần chứng minh rằng:
$a^2b^4+\frac{a^2}{b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b}+ 2a^2b \ge 3+3a^2+b^2$
Thật vậy:
$a^2b^4+\frac{1}{a^2} \ge 2b^2$
$2\left(\frac{a^2}{b^2}+2.a^2b \right) \ge 6a^2$
$\frac{4}{b}+a^2b^4+\frac{1}{a^2} \ge 6$
Cộng lại là OK



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Haruki (11-07-2013), Lê Đình Mẫn (11-07-2013)
  #3  
Cũ 11-07-2013, 09:36
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2529
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Mặc định

Đây là 2 bài giải khác:

Bài giải của anh Cẩn:
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^2\left(\frac{1}{b}+b^2\right) +1 \ge \sqrt{3a^2(a^2+b^2+1)}.$$ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$2\sqrt{3a^2(a^2+b^2+1)} \le \frac{3a^2(b^2+1)}{2}+ \frac{2(a^2+b^2+1)}{b^2+1} =a^2\left(\frac{3b^2+3}{2} +\frac{2}{b^2+1}\right) +2\le a^2\left(\frac{3b^2+3}{2}+\frac{1}{b}\right)+2.$$ Do đó, ta chỉ cần chứng minh được $$2\left[ a^2\left(\frac{1}{b}+b^2\right) +1 \right] \ge a^2\left(\frac{3b^2+3}{2}+\frac{1}{b}\right)+2,$$ hay tương đương $$a^2\left(\frac{1}{b}+\frac{b^2}{2}-\frac{3}{2} \right) \ge 0.$$ Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng do $$\frac{2}{b}+b^2=\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+b^2 \ge 3.$$ Bài toán được chứng minh xong. $\blacksquare$


Bài giải của anh Storm Spirit:
Bất đẳng này nhìn có vẻ khá khó chịu, một bất đẳng thức chứa hai biến, không đối xứng, bậc thì lệch lung tung, lại còn có cả căn nữa. Vậy hướng đi của chúng ta sẽ là gì đây? Mình tin chắc nhiều bạn sẽ nghĩ ngay đến việc biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức quen biết như AM-GM, Cauchy-Schwarz. Tuy nhiên xem xét một cách kỹ càng thì cách này có vẻ khó đây
Chúng ta sẽ phải phán đoán điểm rơi [HINT]Điều này mình tin là sẽ khó với nhiều bạn, nhất là những bạn mới làm quen với bất đẳng thức[/HINT] cùng với đó là biến đổi, tách ghép một cách hợp lý các biểu thức nữa.
Vậy tại sao các bạn không thử gạt bỏ suy nghĩ đó đi và tiếp cận theo một cách nào đó thật khác biệt.
Với bài toán này chúng ta sẽ sử dụng tam thức bậc hai để giải quyết, một tư tưởng khá mạo hiểm đúng không nào? Để có được điều này hãy viết bất đẳng thức chứng minh về dạng : $$\frac{1}{a}+a\left(\frac{1}{b}+b^2\right) \ge \sqrt{3(a^2+b^2+1)}$$Như một thói quen hãy cứ nhân chia một cách "điên loạn" nào . Ta chia cả hai vế cho $a$ rồi bình phương lên thì phải chứng minh : $$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b}+b^2\right)^2 \ge 3(\frac{b^2+1}{a^2}+1)$$Giờ thì rõ rồi nha, cứ xem thằng $\frac{1}{a^2}$ là $x.$ Khai triển ra thì phải chứng minh : $$f(x)=x^2+\left(\frac{2}{b}-b^2-3\right)x+\left(b^2+\frac{1}{b}\right)^2-3 \ge 0$$Đã có tam thức bậc hai, giờ thì tính $\Delta$ nào, rõ ràng ta chỉ cần chỉ ra : $\Delta \le 0.$ Hơn thế biểu thức $\Delta$ của ta lại chỉ có đúng cái biến $b$ nên niềm tin của ta lại thêm phần được củng cố.
Khi đã có niềm tin thì có lẽ việc tính $\Delta$ nhìn có vẻ khá trâu giờ như một con muỗi vậy [HINT]Đập cái chết ngay [/HINT]
Ta có : $$\Delta=\left(\frac{2}{b}-b^2-3\right)^2-4\left[\left(b^2+\frac{1}{b}\right)^2-3\right]=3(b^2+1)\left(3-b^2-\frac{4}{b}\right)+12$$Mục tiêu của ta là chứng minh : $\Delta \le 0$ hay là chứng minh : $$(b^2+1)\left(b^2+\frac{4}{b}-3\right)-4 \ge 0$$$$\Leftrightarrow (b^2+1)(b^2-3)+\frac{4(b^2+1)}{b}-4 \ge 0 \Leftrightarrow (b^2-1)^2+\frac{4(b-1)^2}{b} \ge 0$$Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng, kéo theo $\Delta \le 0$ và theo định lý về dấu của tam thức bậc hai $f(x) \ge 0.$
Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1.$
P/s : Lâu lắm rồi mới có được một bài post thế này, có thể mình chém hơi bị "lởm" nên có gì anh em thông cảm nhé


Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lê Đình Mẫn (11-07-2013), Tuấn Anh Eagles (11-07-2013)
  #4  
Cũ 11-07-2013, 12:11
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13465
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Bài giải của Storm Spirit: có lẽ thiếu phần đánh giá PT bậc hai đó không thể có hai nghiệm âm. Bởi vì:
Với $a>0$ thì $f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\ \forall x>0$ khác với $f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\ \forall x\in R.$


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $dfrac1a, a2, ab2, b&gt0$, b>0$, b2$, cho, cmr, dfracab, geq, sqrt31
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014