Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{c^2 }}{{(a + b - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$ khi biết yếu tố liên quan - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 07-07-2013, 14:46
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 11859
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 885
Được cảm ơn 843 lần trong 530 bài viết

Lượt xem bài này: 1098
Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{c^2 }}{{(a + b - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$ khi biết yếu tố liên quan

Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn :$ a^2 + b^2 + c^2+ab- 2bc – 2ca = 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{c^2 }}{{(a + b - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  catbuilata 
Mai Tuấn Long (07-07-2013)
  #2  
Cũ 07-07-2013, 17:19
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2530
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn :$ a^2 + b^2 + c^2+ab- 2bc – 2ca = 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{c^2 }}{{(a + b - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$
Đặt $\dfrac{a}{c}=x$, $\dfrac{b}{c}=y$ với $x,y>0$. Khi đó ta có:
$$x^2 + y^2 +1 + xy - 2(x+y)=0 \Leftrightarrow (x+y-1)^2=xy.$$
$$P=\dfrac{1}{(x+y-1)^2} -\dfrac{1}{(x+y)^2 - 4(x+y)+1} - \dfrac{1}{x+y}+1.$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương $x,y$ ta suy ra:
$$(x+y-1)^2=xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\leq x+y\leq 2.$$
Đến đây ta chỉ việc khảo sát hàm số:
$f(t)=\dfrac{1}{(t-1)^2} - \dfrac{1}{t^2-4t+1} -\dfrac{1}{t}+1$ với $t\in[\frac{2}{3};2]$.

Bài này quen không nhỉ?


Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (09-07-2013), Lê Đình Mẫn (07-07-2013), Mai Tuấn Long (07-07-2013), s2_la (07-07-2013), suddenly.nb1 (07-07-2013)
  #3  
Cũ 07-07-2013, 17:24
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 656
Điểm: 312 / 9842
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn :$ a^2 + b^2 + c^2+ab- 2bc – 2ca = 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{c^2 }}{{(a + b - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$
Bất đẳng thức được viết lại thành
$$ P = \dfrac{{c^2 }}{{ab }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$ \begin{aligned}P &= \dfrac{{c^2 }}{{2ab }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }}+\dfrac{{c^2 }}{{2ab }}+\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \\ &\ge \dfrac{9c^2}{(a+b)^2+ab} +\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\\&\ge \dfrac{36c^2}{5(a+b)^2}+\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \end{aligned}$$
Từ giả thiết ta có $(a+b-c)^2=ab \Rightarrow \sqrt{ab}=a+b-c$.Từ đó suy ra
$$ P \geq \dfrac{36c^2}{5(a+b)^2}+\dfrac{{a+b -c}}{{a + b}}=\dfrac{36}{5}\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2+1-\dfrac{c}{a+b} $$
Ta lại có $$(a+b-c)^2=ab \le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le \dfrac{c}{a+b} \le \dfrac{3}{2}$$
Ta có theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì
$$ \dfrac{36}{5}\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2+1-\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{36}{5}\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{4}{5}-\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{31}{5}\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{4}{5} \ge \dfrac{23}{10}$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (09-07-2013), Huy Vinh (14-03-2014), Lê Đình Mẫn (07-07-2013), Mai Tuấn Long (07-07-2013), Nguyễn Duy Hồng (07-07-2013), suddenly.nb1 (07-07-2013), thanhson95 (07-07-2013)
  #4  
Cũ 07-07-2013, 18:41
Avatar của thanhson95
thanhson95 thanhson95 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hà Nội - Amsterdam
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Bác sĩ, Manga
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 106
Điểm: 14 / 1455
Kinh nghiệm: 27%

Thành viên thứ: 9238
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 42
Đã cảm ơn : 41
Được cảm ơn 68 lần trong 33 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
$$ \begin{aligned}P &= \dfrac{{c^2 }}{{2ab }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 + b^2 }}+\dfrac{{c^2 }}{{2ab }}+\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \\ &\ge \dfrac{9c^2}{(a+b)^2+ab} +\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\\&\ge \dfrac{36c^2}{5(a+b)^2}+\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \end{aligned}$$
Hình như chỗ áp dụng bất đẳng thức Schwarz anh bị nhầm thì phải, hệ số của $ab$ là $2$.

Cơ mà em nghĩ vì không biết điều kiện của $a$, $b$, $c$ thế nào nên vẫn phải xét 2 trường hợp $a+b-c\geq 0$ và $a+b-c\leq 0$ chứ nhỉ.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  thanhson95 
Mai Tuấn Long (07-07-2013)
  #5  
Cũ 07-07-2013, 18:46
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2530
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thanhson95 Xem bài viết
Hình như chỗ áp dụng bất đẳng thức Schwarz anh bị nhầm thì phải, hệ số của $xy$ là $2$.

Cơ mà em nghĩ vì không biết điều kiện của $a$, $b$, $c$ thế nào nên vẫn phải xét 2 trường hợp $a+b-c\geq 0$ và $a+b-c\leq 0$ chứ nhỉ.
Giả thiết đề bài tương đương: $(a+b-c)^2=ab$.


Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 07-07-2013, 19:01
Avatar của thanhson95
thanhson95 thanhson95 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hà Nội - Amsterdam
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Bác sĩ, Manga
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 106
Điểm: 14 / 1455
Kinh nghiệm: 27%

Thành viên thứ: 9238
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 42
Đã cảm ơn : 41
Được cảm ơn 68 lần trong 33 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Haruki Xem bài viết
Giả thiết đề bài tương đương: $(a+b-c)^2=ab$.
ý mình là $(a+b-c)^2=ab\Leftrightarrow |a+b-c|=\sqrt{ab}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 07-07-2013, 19:10
Avatar của Mai Tuấn Long
Mai Tuấn Long Mai Tuấn Long đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Mỹ Đức- HN
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 651
Điểm: 307 / 9373
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 2893
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 922
Đã cảm ơn : 795
Được cảm ơn 1.455 lần trong 649 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thanhson95 Xem bài viết
Hình như chỗ áp dụng bất đẳng thức Schwarz anh bị nhầm thì phải, hệ số của $ab$ là $2$.

Cơ mà em nghĩ vì không biết điều kiện của $a$, $b$, $c$ thế nào nên vẫn phải xét 2 trường hợp $a+b-c\geq 0$ và $a+b-c\leq 0$ chứ nhỉ.

Đúng là bài của Cát trắng chưa được chặt chẽ nhưng có thể bỏ qua trong TH này được vì: $|a+b-c|\geq a+b-c$

Chỗ "hệ số của $ab$ là $2$." là do đánh Latex thiếu thôi, bước sau vẫn đúng.


Để gió cuốn đi


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Haruki (07-07-2013), Huy Vinh (14-03-2014), thanhson95 (07-07-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm GTNN của biểu thức P biết xy+yz+zx = 3 longnh Đại số luyện thi Đại học 1 05-05-2016 22:50
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$p, a2, ab, b$, b2, biết, biểu, c2, của, fracc2, fracsqrt, giá, khi, liên, nhất, nhỏ, quan, tìm, tố, thức, trị, yếu
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014