Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn $4(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=21$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+ \dfrac{c}{\sqrt{c+a}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 16-06-2013, 10:21
Avatar của Nắng vàng
Nắng vàng Nắng vàng đang ẩn
Thành viên Danh dự
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 554
Điểm: 215 / 8365
Kinh nghiệm: 17%

Thành viên thứ: 849
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 645
Đã cảm ơn : 1.578
Được cảm ơn 1.021 lần trong 359 bài viết

Lượt xem bài này: 874
Mặc định Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn $4(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=21$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+ \dfrac{c}{\sqrt{c+a}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn
$4(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=21$.
Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+ \dfrac{c}{\sqrt{c+a}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Thinking out of the box


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
hiếuctb (16-06-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (16-06-2013), Lạnh Như Băng (16-06-2013)
  #2  
Cũ 16-06-2013, 11:29
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2529
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lò xo Xem bài viết
Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn
$4(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=21$.
Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+ \dfrac{c}{\sqrt{c+a}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$
Lâu lâu mới làm được 1 bài bất đẳng thức!
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$$\sum\sqrt{a.\dfrac{2a}{a+b}} \leq 3$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\sum\sqrt{a.\dfrac{2a}{a+b}} \leq \dfrac{1}{2}(a+\dfrac{2a}{a+b})$$
Vì thế ta cần chứng minh:
$$\dfrac{1}{2}(a+\dfrac{2a}{a+b}) \leq 3 \Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{2}\leq \sum\dfrac{b}{a+b}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$\sum\dfrac{b}{a+b} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$$
Từ đó, ta sẽ đi chứng minh:
$$\dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)}\geq \dfrac{1}{2}$$
Lại có: $$4(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=21 \Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{4(a+b+c)^2-21}{5}$$
mà $ab+bc+ca \leq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$ nên suy ra $a+b+c\leq 3$.
Đặt $a+b+c=x$. Khi đó bất đẳng cần chứng minh trở thành:
$\dfrac{5x}{x^2+21} \geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow (x-3)(x-7)\leq 0$ hiển nhiên đúng với $x\leq 3$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán giải quyết xong!


Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Haruki 
Lạnh Như Băng (16-06-2013)
  #3  
Cũ 16-06-2013, 11:51
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 7890
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 812 lần trong 360 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Haruki Xem bài viết
Lâu lâu mới làm được 1 bài bất đẳng thức!
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$$\sum\sqrt{a.\dfrac{2a}{a+b}} \leq 3$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\sum\sqrt{a.\dfrac{2a}{a+b}} \leq \dfrac{1}{2}(a+\dfrac{2a}{a+b})$$
Vì thế ta cần chứng minh:
$$\dfrac{1}{2}(a+\dfrac{2a}{a+b}) \leq 3 \Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{2}\leq \sum\dfrac{b}{a+b}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$\sum\dfrac{b}{a+b} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$$
Từ đó, ta sẽ đi chứng minh:
$$\dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)}\geq \dfrac{1}{2}$$
Lại có: $$4(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=21 \Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{4(a+b+c)^2-21}{5}$$
mà $ab+bc+ca \leq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$ nên suy ra $a+b+c\leq 3$.
Đặt $a+b+c=x$. Khi đó bất đẳng cần chứng minh trở thành:
$\dfrac{5x}{x^2+21} \geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow (x-3)(x-7)\leq 0$ hiển nhiên đúng với $x\leq 3$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán giải quyết xong!
He He, vừa nãy Em cũng làm tới đoạn $(x-3)(x-7) \leq 0$ nhưng BDT này sai với mọi $x \leq 3$ mà Anh


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 16-06-2013, 11:57
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2529
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Tống Giang Xem bài viết
He He, vừa nãy Em cũng làm tới đoạn $(x-3)(x-7) \leq 0$ nhưng BDT này sai với mọi $x \leq 3$ mà Anh
À, mình quên mất!
Lại sai nữa rồi!!
Chắc phải sửa lại câu đầu thôi!!!
" Lâu rồi chưa làm được bài bất đẳng thức nào!!!"


Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Haruki 
Miền cát trắng (16-06-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$4a2, $abc$, $dfracasqrta, 3ab, ale, b2, bc, c2, ca21$, các, ccsqrtc, chứng, cho, dfra, dfrac3sqrt2$, dfracbsqrtb, dfraccsqrtc, dương, , mãn, minh, rằng, số, thỏa, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014