Cho: $a, b, c \ge 0$. CMR: $$\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2a}{ b+2a} \ge 3$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 12-06-2013, 17:50
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 7817
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 985 lần trong 423 bài viết

Lượt xem bài này: 1825
Mặc định Cho: $a, b, c \ge 0$. CMR: $$\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2a}{ b+2a} \ge 3$$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ashin_xman (12-06-2013), Hà Nguyễn (13-06-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (14-06-2013), Lạnh Như Băng (12-06-2013), nhatqny (13-06-2013)
  #2  
Cũ 12-06-2013, 23:05
Avatar của Ashin_xman
Ashin_xman Ashin_xman đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 3 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 55
Điểm: 6 / 747
Kinh nghiệm: 20%

Thành viên thứ: 9522
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 20
Đã cảm ơn : 32
Được cảm ơn 51 lần trong 18 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi ramanujan Xem bài viết
Cho: $a, b, c \ge 0$. CMR:
$$\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2a}{ b+2a} \ge 3$$
Ta có:
$$VT=\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2 a}{b+2a}$$
Với sức khỏe và trí tuệ của tuổi trẻ nên quy đông lên ta có:
$$VT=\dfrac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9(a^{2}b+b^{2}c+c ^{2}a)+6(b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c)+30abc}{9abc+2(b^{2} a+c^{2}b+a^{2}c)+4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)}\geq 3$$
$$\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(1)$$
Giả sử: a=min{a,b,c}
Đến đây đặt:
$$\left\{\begin{matrix}
b=a+x\\
c=a+y
\end{matrix}\right.$$
Thế vào (1) ta có:
$$3a(x^{2}-xy+y^{2})+2x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y\geq 0(2)$$
Mà:
$$2x^{3}+y^{3}\geq 3x^{2}y$$
Nên (2) đúng:
Đẳng thức xảy ra khi x=y=0 hay a=b=c
P\s:Cách này cùng lắm mới làm. Ai có cách khác hay hơn không? Mất 1 tiếng quy đồng với gom lại không luyện đề được.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lạnh Như Băng (12-06-2013), ma29 (13-06-2013), Sv_ĐhY_013 (13-06-2013), Tuấn Anh Eagles (12-06-2013)
  #3  
Cũ 12-06-2013, 23:53
Avatar của Ashin_xman
Ashin_xman Ashin_xman đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 3 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 55
Điểm: 6 / 747
Kinh nghiệm: 20%

Thành viên thứ: 9522
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 20
Đã cảm ơn : 32
Được cảm ơn 51 lần trong 18 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Haruki Xem bài viết
Để ý rằng $a,b,c\geq0$ nên:
$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc\geq (2a^3 + b^3)+(2b^3 + c^3)+(2c^3 + a^3) \geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(1)$ ( theo AM-GM).

Liệu có thể khai thác $a,b,c\geq0$ để có 1 cách giải khác ngắn gọn hơn không nhỉ?
Hình như cái đầu sai rồi thì phải


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lạnh Như Băng (13-06-2013), nhatqny (13-06-2013)
  #4  
Cũ 13-06-2013, 01:16
Avatar của Haruki
Haruki Haruki đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: Miền đất lạ!
Nghề nghiệp: Chơi
Sở thích: Vui vẻ!
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2532
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 4301
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 110
Được cảm ơn 108 lần trong 51 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi ramanujan Xem bài viết
Cho: $a, b, c \ge 0$. CMR:
$$\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2a}{ b+2a} \ge 3$$
Ta có thể giải bằng cách "ghép hình" như sau:
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$$\dfrac{a-c}{c+2b} + \dfrac{b-a}{a+2c} + \dfrac{c-b}{b+2a} \geq 0$$
Không mất tính tổng quát giả sử: $a\leq b\leq c$. Khi đó ta có:
$$\dfrac{a-c}{c+2b} + \dfrac{b-a}{a+2c} + \dfrac{c-b}{b+2a}$$
$=\dfrac{(b-a)^2}{(a+2c)(c+2b)} + \dfrac{(c-b)(b-a)}{(b+2a)(c+2b)} +\dfrac{(c-b)(b-a)}{c+2b}.\dfrac{(c-b)+(c-a)}{(b+2a)(a+2c)} \geq 0$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c\neq0$.


Chán đời!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lạnh Như Băng (13-06-2013), nhatqny (13-06-2013), Tuấn Anh Eagles (13-06-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$fraca, $a, 0$, 2a, 2ab, 2b, 2bc, 2c, 2ca, 3$$, cho, cmr, fracb, fracc, ge
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014