Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 10-06-2013, 08:59
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 7891
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 812 lần trong 360 bài viết

Lượt xem bài này: 697
Mặc định Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lạnh Như Băng 
Hồng Sơn-cht (10-06-2013)
  #2  
Cũ 10-06-2013, 17:16
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9680
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Tống Giang Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$
Bài làm:
Trước tiên ta có bổ đề sau:
Cho các số $x_1; x_2; …x_n$ sao cho: $x_1+x_2+…+x_n=n$ và $x_1^2+x_2^2+…+x_n^2=n+n(n-1)t^2$ với $t \geq 0$, khi đó với mọi $i=1,2,.., n$ thì:
$$1-(n-1)t \leq x_i\leq 1+(n-1)t.$$
Chứng minh nhờ Cauchy-Schwarz:
$$x_2^2+x_3^2+…+x_n^2 \geq \dfrac{(x_2+x_3+…+x_n)^2}{n-1}=\dfrac{(n-x_1)^2}{n-1}.$$
Do đó:
$$x_1^2+ x_2^2+x_3^2+…+x_n^2 \leq n+(n-1)t^2.$$
Coi đây là bất phương trình ẩn $x_1$, ta có:
$$1-(n-1)t \leq x_1 \leq 1+(n-1)t.$$
Tương tự, ta có với các số còn lại.
Trở về bài toán đã cho.
Vì tính thuần nhất nên ta chuẩn hóa:
$$a+b+c=3.$$
Đặt $$x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 3+6t^2.$$
Với $0 \leq t \leq 1.$
Quy về chứng minh:
$$\sum \dfrac{a}{3-a} \geq \dfrac{3(3+6t^2}{9} +\dfrac{1}{2}.$$
Cộng 3 vào cả hai vế thì ta chuyển về:
$$\sum \dfrac{2}{3-a} \geq 3+\dfrac{4}{3}t^2.$$
Nếu t=0 thì ta có :
$$a=b=c=1.$$
Ta có trường hợp tầm thường-BDT thành đẳng thức.
Xét với $0<t \lrq 1.$
Theo bổ đề thì ta có:
$$\dfrac{1}{3-a} \geq \dfrac{1}{3-(1-2t)}=\dfrac{1}{2(1+t)}.$$
Nên ta thêm bớt lượng $\dfrac{3}{1+t}$ thành ba số hạng giống nhau, ghép vào các số hạng dạng $\dfrac{2}{3-a}$.
Cần chứng minh:
$$\dfrac{1}{1+t} \left(\dfrac{a+2t-1}{3-a} +(\dfrac{b+2t-1}{3-b}+ (\dfrac{c+2t-1}{3-c} \right) \geq \dfrac{3t}{1+t} +\dfrac{4}{3} t^2.$$
Thật vậy theo Cauchy-Schwarz, chú ý rằng $a+b+c=3.$Thì:
$$\left(\dfrac{a+2t-1}{3-a} +(\dfrac{b+2t-1}{3-b}+ (\dfrac{c+2t-1}{3-c} \right) \geq \dfrac{6t}{2-t}.$$
Cuối cùng là xào bất đẳng thức một biến thôi:
$$\dfrac{6t}{(1+t)(2-t)} \geq \dfrac{3t}{1+t} + \dfrac{4}{3} t^2.$$
Biến đổi , ta quy về chứng minh:
$$9 \geq 4(1+t)(2-t).$$-không khó phải không, các bạn?
Bất đẳng thức đã được giải quyết.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b; c=0$ và các hoán vị.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (10-06-2013), kiemro721119 (10-06-2013), Lạnh Như Băng (10-06-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $x^2+y^2+\frac{3}{5}xy>1$ jupiterhn9x Bất đẳng thức - Cực trị 1 22-05-2016 13:41
Chứng minh rằng $\forall a\geq 1$ ta luôn có $\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}}\g eq \frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 20-05-2016 13:44
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$fracab, $a, >0$, b2, c2, c2a, chứng, cho, frac12$$, frac3a2, fracbc, fracca, geq, minh, rằng
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014