Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$ Tìm min : $$P = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-06-2013, 16:06
Avatar của Nguyễn Bình
Nguyễn Bình Nguyễn Bình đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Những ngôi sao xa xôi
Sở thích: Math is thinking !
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 251
Điểm: 48 / 3663
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 1938
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 144
Đã cảm ơn : 397
Được cảm ơn 304 lần trong 104 bài viết

Lượt xem bài này: 801
Mặc định Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$ Tìm min : $$P = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}$$

Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$
Tìm min :
$$P = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Sân trường vắng tênh ngày nắng qua mùa thi
Chẳng tìm thấy đâu màu áo trắng hôm nào


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 08-06-2013, 16:42
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9674
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Nguyễn Bình Xem bài viết
Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$
Tìm min :
$$P = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}$$
Bài làm:
Cách tiếp cận thứ nhất:
Vì vai trò a,b, c như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:
$$a \geq b \geq c.$$
Theo kinh nghiệm giải toán Bất Đẳng Thức ta ngửi thấy mùi của hàm số.
Mò mẫm một cách tự nhiên ta nghĩ nên đánh giá trung gian qua hàm của lượng nào đó :a; b; c; abc; a+b, a+c; b+c?
Thử với a, b, c, abc không ổn cho lắm-thử với tổng hai số đi, ta liều với b+c xem sao, và may mắn thay ta mò được ý tưởng:
Đặt giả thuyết:
$$\sum \dfrac{1}{a+b} \geq \dfrac{1}{b+c} + b+c + \dfrac{1}{b+c+\dfrac{1}{b+c}}(1).$$
Ổn không nhỉ, cứ thử đi-xem thế nào.
$$(1) \Leftrightarrow \dfrac{1-(b+c)(c+a)}{c+a} \geq \dfrac{(a-c)(b+c)+1}{(a+b) \left((b+c)^2 +1\right)}
\Leftrightarrow \dfrac{-c^2}{c+a} \geq \dfrac{-2bc-c^2}{(a+b) \left((b+c)^2 +1 \right)}.$$
$$\Leftrightarrow c \left(\dfrac{2b+c}{(a+b) \left((b+c)^2 +1 \right)}-\dfrac{c}{c+a} \right) \geq 0.$$
Ta có:
$$1=ab+bc+ca \geq ab+ca \rightarrow b+c \leq \dfrac{1}{a} \Rightarrow (b+c)^2+1 \leq \dfrac{b+c}{a} +1 \leq \dfrac{b+c}{b} +1 \leq \dfrac{2b+c}{b}.$$
Từ đây ta có:
$$\dfrac{2b+c}{(a+b) \left((b+c)^2 +1 \right)} \geq \dfrac{b}{a+b} =1-\dfrac{a}{a+b} \geq 1-\dfrac{a}{a+c} =\dfrac{c}{a+c}.$$
Ta có khẳng định (1) đúng.
Đến đây chắc chúng ta có thể nhẹ nhõm rồi-công việc còn lại chỉ là chứng minh:
$$\dfrac{1}{t} + t +\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t}} \geq \dfrac{5}{2}.$$
Trong đó t=c+b.
Có thể dùng AM-GM hoặc khảo sát hàm số.
AM-GM thì thế này:
$$\dfrac{3}{4} \left(t+\dfrac{1}{t} \right) \dfrac{3}{2}; \dfrac{t+\dfrac{1}{t}}{4} + \dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t}} \geq 1.$$
Cộng tương ứng lại ta có điều phải chứng minh.
Như vậy bài toán đã được giải quyết.
GTNN là $\dfrac{5}{2}$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi $$a=b=1; c=0.$$


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ashin_xman (08-06-2013), blackmetal (09-06-2013), Hà Nguyễn (08-06-2013), Lạnh Như Băng (08-06-2013), Nắng vàng (08-06-2013)
  #3  
Cũ 08-06-2013, 17:12
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11965
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Mặc định

Bài này hình như là đề thi olympiad 30-4 thì phải


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 08-06-2013, 17:14
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9674
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Nguyễn Bình Xem bài viết
Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$
Tìm min :
$$P = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}$$
Cách tiếp cận thứ hai là dùng bổ đề quen thuộc với nhưng ai đã "nghịch" Bất Đẳng Thức:
Hình thức bài khiến ta nghĩ ngay đến I ran 96:
"Cho x; y; z>0.
Chứng minh:
$$\sum xy \left(\sum \dfrac{1}{(x+y)^2}\right) \geq \dfrac{9}{4}.$$
Xin phép không nêu lên chứng minh bổ đề nữa nhé.
Trở lại bài toán đã cho:
Theo I ran 96:
$$\left(\sum \dfrac{1}{a+b} \right)^2 = \sum \dfrac{1}{a+b)^2} + 2 \sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}
\geq \dfrac{9}{4(ab+bc+ca)} +\dfrac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$$
Xét riêng:
$$\dfrac{\sum a}{(a+b)(b+c)(c+a} =\dfrac{ \sum a \sum ab}{(a+b)(b+c)(ca)}=1+\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} .$$
Sử dụng giả thiết $$ab+bc+ca=1.$$
Ta có điều phải chứng minh.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ashin_xman (08-06-2013), Hà Nguyễn (08-06-2013), Hồng Sơn-cht (09-06-2013), Lạnh Như Băng (08-06-2013), Sv_ĐhY_013 (08-06-2013)
  #5  
Cũ 08-06-2013, 21:25
Avatar của lovemath
lovemath lovemath đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 34
Điểm: 4 / 486
Kinh nghiệm: 38%

Thành viên thứ: 4294
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 13
Đã cảm ơn : 34
Được cảm ơn 7 lần trong 7 bài viết

Mặc định

Đặt giả thuyết:
$$\sum \dfrac{1}{a+b} \geq \dfrac{1}{b+c} + b+c + \dfrac{1}{b+c+\dfrac{1}{b+c}}(1).$$
Em nghĩ thế nào cũng không hiểu tại sao Anh lại đặt được giả thiết như vậy

Chả thấy VT và VP có mối quan hệ gì cả


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$p, $ab, $x, 0$, a$$, bc, ca1$, cho, frac1a, frac1b, frac1c, ge, mãn, min, tìm, thỏa
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014