Cho các số thục a,b,c,d thoả $\frac{1}{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 1$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 06-06-2013, 13:07
Avatar của bebeobeo
bebeobeo bebeobeo đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: trên núi có nhiều sương muối
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 198
Điểm: 33 / 2729
Kinh nghiệm: 94%

Thành viên thứ: 7593
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 99
Đã cảm ơn : 96
Được cảm ơn 49 lần trong 35 bài viết

Lượt xem bài này: 735
Mặc định Cho các số thục a,b,c,d thoả $\frac{1}{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 1$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 06-06-2013, 14:21
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 656
Điểm: 312 / 9831
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi bebeobeo Xem bài viết
Cho các số thục a,b,c,d thoả $\frac{1}{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 1$
Tìm GTLN và GTNN của $A=(a-2b+c)^{2}+(b-2c+d)^{2}+(b-2a)^{2}+(c-2d)^{2}$
Tìm max.
Đặt $u=-b$ và $v=-d$ khi đó biểu thức $P$ trở thành :
$$P=(a+2u+c)^2+(u+2c+v)^2+(2a+u)^2+(2v+c)^2$$
Đặt $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$$ \begin{aligned} (a+2u+c)^2 \le (k+2+1)\left(\dfrac{a^2}{k}+2u^2+c^2\right) \\ (u+2c+v)^2 \le (1+2+k)\left(u^2+2c^2+\dfrac{v^2}{k}\right) \\ (2a+u)^2 \le (2k+1)\left(\dfrac{2a^2}{k}+u^2\right) \\ (2u+c)^2 \le (2k+1)\left(\dfrac{2v^2}{k}+c^2\right) \end{aligned}$$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức lại ta được $P\le \dfrac{5(3+\sqrt{5})}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $u=c=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2(k^2+1)}} $ và $ a=v= \pm \dfrac{k}{\sqrt{2(k^2+1)}}$
Tìm min.
Đặt $$\begin{cases} m=a-2b+c \\ n=b-2c+d \\ p=b-2a \\ w=c-2d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-\dfrac{3m+2n+4p+w}{5} \\ b=-\dfrac{6m+4n+3p+2w}{5} \\ c=-\dfrac{4m+6n+2p+3w}{5}\\d=-\dfrac{3m+3n+p+4w}{5} \end{cases} $$
Khi đó ta có :
$$\dfrac{25}{2} \le (3m+2n+4p+w)^2+(6m+4n+3p+2w)^2+(4m+6n+2p+3w)^2+(3m +3n+p+4w)^2 =A$$
Và $$P=m^2+n^2+p^2+w^2$$
Từ đây ta trở lại tìm giá trị lớn nhất của $A$ như tìm max $P$.
Từ đó suy ra $P \geq \dfrac{7-3\sqrt5}{4}\blacksquare$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
bebeobeo (06-06-2013), NTH 52 (06-06-2013)
  #3  
Cũ 06-06-2013, 14:33
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9670
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
Tìm max.
Đặt $u=-b$ và $v=-d$ khi đó biểu thức $P$ trở thành :
$$P=(a+2u+c)^2+(u+2c+v)^2+(2a+u)^2+(2v+c)^2$$
Đặt $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$$ \begin{aligned} (a+2u+c)^2 \le (k+2+1)\left(\dfrac{a^2}{k}+2u^2+c^2\right) \\ (u+2c+v)^2 \le (1+2+k)\left(u^2+2c^2+\dfrac{v^2}{k}\right) \\ (2a+u)^2 \le (2k+1)\left(\dfrac{2a^2}{k}+u^2\right) \\ (2u+c)^2 \le (2k+1)\left(\dfrac{2v^2}{k}+c^2\right) \end{aligned}$$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức lại ta được $P\le \dfrac{5(3+\sqrt{5})}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $u=c=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2(k^2+1)}} $ và $ a=v= \pm \dfrac{k}{\sqrt{2(k^2+1)}}$
Tìm min.
Đặt $$\begin{cases} m=a-2b+c \\ n=b-2c+d \\ p=b-2a \\ w=c-2d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-\dfrac{3m+2n+4p+w}{5} \\ b=-\dfrac{6m+4n+3p+2w}{5} \\ c=-\dfrac{4m+6n+2p+3w}{5}\\d=-\dfrac{3m+3n+p+4w}{5} \end{cases} $$
Khi đó ta có :
$$\dfrac{25}{2} \le (3m+2n+4p+w)^2+(6m+4n+3p+2w)^2+(4m+6n+2p+3w)^2+(3m +3n+p+4w)^2 =A$$
Và $$P=m^2+n^2+p^2+w^2$$
Từ đây ta trở lại tìm giá trị lớn nhất của $A$ như tìm max $P$.
Từ đó suy ra $P \geq \dfrac{7-3\sqrt5}{4}\blacksquare$
Trả lời:
Đây là một câu trong đề Vietnam TST phải không anh, lời giải trên em đã từng đọc khi còn học toán olympic, anh à.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 06-06-2013, 14:42
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 656
Điểm: 312 / 9831
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi hieubuidinh Xem bài viết
Trả lời:
Đây là một câu trong đề Vietnam TST phải không anh, lời giải trên em đã từng đọc khi còn học toán olympic, anh à.
Đây là câu trong TST,trích từ sách Sử dụng Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức của Võ Quốc Bá Cẩn và Trần Quốc Anh.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$frac12leq, 1$, a2, b2, c2, các, cho, d2leq, số, thục, thoả
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014