Cho $x, y, z \ge 0$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx} }+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \ge 1$$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 20-04-2013, 20:20
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 9203
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 986 lần trong 423 bài viết

Lượt xem bài này: 1088
Mặc định Cho $x, y, z \ge 0$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx} }+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \ge 1$$

Cho $x, y, z \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx} }+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \ge 1$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 20-04-2013, 20:26
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 9249
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 813 lần trong 360 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi ramanujan Xem bài viết
Cho $x, y, z \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx} }+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \ge 1$$
Đặt :

$$A=\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8z x}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}}$$

$$B = \sum x(x^2+8yz)$$

Áp dụng BĐT Holder ta có :

$$A.A.B \geq (x+y+z)^3$$

Bài toán quy về việc Chứng minh :

$$(x+y+z)^3 \geq B = x^3+y^3+z^3+24xyz$$

Hay $$3(x+y)(y+z)(x+z) \geq 24xyz$$

Hiển nhiên đúng theo AM-GM !

Cách khác : Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có :

$$VT \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum \sqrt{ x^2(x^2+8yz)}}$$

Bài toán quy về việc Chứng minh :

$$(x+y+z)^4 \geq (\sum \sqrt{x(x^3+8xyz)})^2$$

Áp dụng 1 lần nữa Cauchy-schwarz cho VP là 0k !


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (20-04-2013), Tuấn Anh Eagles (20-04-2013)
  #3  
Cũ 20-04-2013, 20:49
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 9203
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 986 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Đặt :
$$A=\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8z x}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}}$$
$$B = \sum x(x^2+8yz)$$
Áp dụng BĐT Holder ta có :
$$A.A.B \geq (x+y+z)^3$$
Bài toán quy về việc Chứng minh :
$$(x+y+z)^3 \geq B = x^3+y^3+z^3+24xyz$$
Hay $$3(x+y)(y+z)(x+z) \geq 24xyz$$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM !
Cách khác : Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có :
$$VT \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum \sqrt{ x^2(x^2+8yz)}}$$
Bài toán quy về việc Chứng minh :
$$(x+y+z)^4 \geq (\sum \sqrt{x(x^3+8xyz)})^2$$
Áp dụng 1 lần nữa Cauchy-schwarz cho VP là 0k !
Bài này còn cách như sau:
Đặt $\left\{\begin{array}{I} a^3= \frac{yz}{x^2} \\ b^3=\frac{zx}{y^2} \\ c^3= \frac{xy}{z^2} \end{array}\right.$thì $ abc = 1$ và BDT được viết lại như sau:
$\frac{1}{\sqrt{8a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{8b^3+1}}+ \frac{1}{\sqrt{8c^3+1}} \ge 1$
Mà ta để ý thấy:
$\sqrt{8a^3+1}=\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \le^{AM-GM} 2a^2+1$
Do đó ta cần chỉ ra rằng:
$\frac{1}{ 2a^2+1}+ \frac{1}{ 2b^2+1}+ \frac{1}{ 2c^2+1} \ge 1$
Bây giờ ta chú ý điều kiện: $abc =1$
Từ đây ta có thể đặt: $ \left\{\begin{array}{I} a =\frac{x}{y} \\ b= \frac{y}{z} \\ c=\frac{z}{x} \end{array}\right.$ Vì vậy BDT trở thành:
$\frac{y^2}{2x^2+y^2}+\frac{z^2}{2y^2+z^2}+ \frac{x^2}{2z^2+z^2} \ge 1$
Cái này luôn đúng theo CS.

Vậy BDT đã được chứng minh!



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (20-04-2013), hiếuctb (22-04-2013), Lạnh Như Băng (20-04-2013)
  #4  
Cũ 24-04-2013, 11:55
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 9249
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 813 lần trong 360 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi ramanujan Xem bài viết
Bài này còn cách như sau:
Đặt $\left\{\begin{array}{I} a^3= \frac{yz}{x^2} \\ b^3=\frac{zx}{y^2} \\ c^3= \frac{xy}{z^2} \end{array}\right.$thì $ abc = 1$ và BDT được viết lại như sau:
$\frac{1}{\sqrt{8a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{8b^3+1}}+ \frac{1}{\sqrt{8c^3+1}} \ge 1$
Mà ta để ý thấy:
$\sqrt{8a^3+1}=\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \le^{AM-GM} 2a^2+1$
Do đó ta cần chỉ ra rằng:
$\frac{1}{ 2a^2+1}+ \frac{1}{ 2b^2+1}+ \frac{1}{ 2c^2+1} \ge 1$
Bây giờ ta chú ý điều kiện: $abc =1$
Từ đây ta có thể đặt: $ \left\{\begin{array}{I} a =\frac{x}{y} \\ b= \frac{y}{z} \\ c=\frac{z}{x} \end{array}\right.$ Vì vậy BDT trở thành:
$\frac{y^2}{2x^2+y^2}+\frac{z^2}{2y^2+z^2}+ \frac{x^2}{2z^2+z^2} \ge 1$
Cái này luôn đúng theo CS.

Vậy BDT đã được chứng minh!
Thêm 1 cách nữa :

Nhận xét :

$$(x+y+z)^2 =x^2+y^2+z^2 +2(xy+yz+zx) \geq x^2 +8\sqrt[8]{y^2z^2(xy)^2(yz)^2(zx)^2} =x^2 + 8\sqrt[4]{x^2y^3z^3} = \sqrt{x}(\sqrt{x^3} + 8\sqrt[4]{y^3z^3}) $$

$$\Rightarrow x+y+z \geq \sqrt[4]{x}.\sqrt{\sqrt{x^3} + 8\sqrt[4]{y^3z^3}}$$

$$\Rightarrow \frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{\sqrt{x^3} + 8\sqrt[4]{y^3z^3}}} \geq \frac{x}{x+y+z}$$

Xây dựng cách BDT tương tự và đặt $\sqrt[4]{x^3} = a, \sqrt[4]{x^3}=b, \sqrt[4]{x^3}=c$ ta có dpcm !


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lạnh Như Băng 
Tuấn Anh Eagles (24-04-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$fracxsqrtx2, chứng, fracysqrty2, fraczsqrtz2, rằng, x/căn (x^2 8yz), x/căn(x^2 8yz), x/sqrt(x^2 8yz) y/sqrt(y^2 8zx
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên