Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq 2$$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 20-04-2013, 18:44
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 9244
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 813 lần trong 360 bài viết

Lượt xem bài này: 1068
Mặc định Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq 2$$

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq 2$$


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 20-04-2013, 21:48
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 9198
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 986 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq 2$$
Xét: $f(a) = a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc$ thì ta có:
$f'(a) = 3a^2+\frac{15bc}{4}$
$f''(a) = 6a \ge 0$
$\Rightarrow f $ là hàm lồi!
Từ đó ta có được: $a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \ge 2$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Haruki (21-04-2013), Lạnh Như Băng (21-04-2013)
  #3  
Cũ 21-04-2013, 09:54
Avatar của thái bình
thái bình thái bình đang ẩn
Libach80
Đến từ: THPT Thái Lão
Nghề nghiệp: Đánh trẻ
Sở thích: Làm học sinh
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 472
Điểm: 153 / 8316
Kinh nghiệm: 89%

Thành viên thứ: 838
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 461
Đã cảm ơn : 47
Được cảm ơn 501 lần trong 266 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq 2$$
Giải.
Ta có
$VT=a^3+\left(b+c \right)\left[\left(b+c \right)^2-3bc \right]+\frac{15}{4}abc=a^3+\left(2-a \right)^3+bc\left(\frac{27}{4}a-6 \right)$
Do vế trái không đổi khi ta hoán vị a,b,c nên ta giả sữ a=min(a,b,c) khi đó $a\leq \frac{2}{3}\rightarrow \frac{27}{4}a-6<0$
Do đó
$VT\geq a^3+\left(2-a \right)^3+\frac{\left(b+c \right)^2}{4}\left(\frac{27}{4}a-6 \right)=a^3+\left(2-a \right)^3+\frac{\left(2-a \right)^2}{4}\left(\frac{27}{4}a-6 \right),0\leq a\leq \frac{2}{3}$.
Đến đây có lẽ tự nhiên hơn.


TOÁN HỌC LÀ ĐAM MÊ CỦA CUỘC ĐỜI


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Haruki (21-04-2013), Lạnh Như Băng (21-04-2013), Nguyễn Bình (21-04-2013), Tuấn Anh Eagles (21-04-2013)
  #4  
Cũ 21-04-2013, 10:21
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 9244
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 813 lần trong 360 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thái bình Xem bài viết
Giải.
Ta có
$VT=a^3+\left(b+c \right)\left[\left(b+c \right)^2-3bc \right]+\frac{15}{4}abc=a^3+\left(2-a \right)^3+bc\left(\frac{27}{4}a-6 \right)$
Do vế trái không đổi khi ta hoán vị a,b,c nên ta giả sữ a=min(a,b,c) khi đó $a\leq \frac{2}{3}\rightarrow \frac{27}{4}a-6<0$
Do đó
$VT\geq a^3+\left(2-a \right)^3+\frac{\left(b+c \right)^2}{4}\left(\frac{27}{4}a-6 \right)=a^3+\left(2-a \right)^3+\frac{\left(2-a \right)^2}{4}\left(\frac{27}{4}a-6 \right),0\leq a\leq \frac{2}{3}$.
Đến đây có lẽ tự nhiên hơn.
Thêm 1 cách nữa :

Đồng bậc hóa ta có :

$$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq \frac{(a+b+c)^3}{4}$$

hay $$a^3+b^3+c^3+3abc \geq \sum ab(a+b)$$

Đây là BDT Schur quen thuộc !


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lạnh Như Băng 
Tuấn Anh Eagles (21-04-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$a3, $a, 0$, 2$$, b3, c2$, c3, chứng, cho, frac154abc, geq, mãn, minh, rằng, thỏa
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên