Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+ b)^2} \geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)}$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-04-2013, 23:34
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 7915
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 812 lần trong 360 bài viết

Lượt xem bài này: 1404
Mặc định Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+ b)^2} \geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)^3} $$



Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 09-04-2013, 00:03
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 7833
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 985 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+ b)^2} \geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)^3} $$
Trước hết theo Cs ta có đánh giá:

$ \frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+b) ^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2 \left( \sum a^2b^2+abc \sum a \right)}$

Như vậy ta chỉ cần đi chứng minh:

$\frac{(a+b+c)^2}{ \sum a^2b^2+abc \sum a } \ge \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)^3} $

$ \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)^3 \ge 3 \left( \sum a^2b^2+abc \sum a \right) \sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2 $

Chuẩn hoá: $ ab+bc+ca =3 \Rightarrow \sum a^2b^2 = 9-2abc(a+b+c)$

Đặt $t =\sqrt{3abc(a+b+c)} \Rightarrow t \ge 3$

$BDT \Leftrightarrow 18 \ge \left(9-\frac{2t^2}{3}\right)t$

$ \Leftrightarrow \frac{2t^3}{3} -9t +18 \ge 0$

$ \Leftrightarrow (t-3)^2(t+2\sqrt3) \ge 0$ (luôn đúng!)

Vậy BDT được chứng minh.

Dấu đẳng thức $ \Leftrightarrow a=b=c$.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Tuấn Anh Eagles 
Lạnh Như Băng (09-04-2013)
  #3  
Cũ 28-07-2013, 00:06
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13507
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lạnh Như Băng Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+ b)^2} \geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)^3} $$
Hướng dẫn:

Đặt $a= \dfrac{1}{x}, b= \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z}$. BĐT trở thành: $$\sum \frac{x^2y^2}{(x+y)^2}\geq \frac{3\sqrt{3(xy+yz+zx)}(xy+yz+zx)^2}{4(x+y+z)^3} $$
$\bullet$ Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$VT\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}$$
Ta cần chứng minh:
$$4(x+y+z)^6\geq 27(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)^2$$
$\bullet$ Áp dụng $AM-GM$ ta có:
$$\begin{aligned}&27(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+z x)^2\\
= &\frac{1}{2}27.2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x ^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\\
\le &\frac{1}{2}\left [ 2(xy+yz+zx)+2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) \right ]^3\\
=&4(x+y+z)^6\end{aligned}$$
Kết thúc chứng minh!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (28-07-2013), hiếuctb (28-07-2013), Tuấn Anh Eagles (28-07-2013), Đặng Thành Nam (03-08-2013)
  #4  
Cũ 28-07-2013, 00:14
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 658
Điểm: 315 / 9051
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 265 lần trong 190 bài viết

Mặc định

Bạn có thể tham khảo bài này trong tài liệu dưới đây, có nhiều cách để chứng minh
$$4(x+y+z)^6\geq 27(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)^2$$

Bạn có thể tải file đính kèm mà không cần phải ĐĂNG KÝ THÀNH VIÊN

Kiểu file: pdf BDT AM-GM chuyen Long An.pdf‎ (222,2 KB, 24 lượt tải )


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  phatthientai 
catbuilata (28-07-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $x^2+y^2+\frac{3}{5}xy>1$ jupiterhn9x Bất đẳng thức - Cực trị 1 22-05-2016 13:41
Bài toán khó: Cho tam giác ABC co hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng PH vuông góc với AM. dobinh1111 Hình học phẳng 0 03-05-2016 12:41
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$frac1b, $a, >0$, a2, b2, bc, c2, c24ab, ca, ca$$, chứng, cho, frac1a, frac1c, frac3sqrt3abca, geq, minh, rằng
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014