Phương pháp phân tích nhân tử trong PT và HPT - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TÀI LIỆU MÔN TOÁN THPT giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan SÁCH TOÁN THPT giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chuyên đề chọn lọc môn Toán

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-04-2013, 22:40
Avatar của nthoangcute
nthoangcute nthoangcute đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Lớp 11 Toán 2
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 424
Điểm: 124 / 5982
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 4234
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 372
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 968 lần trong 274 bài viết

Lượt xem bài này: 15806
Mặc định Phương pháp phân tích nhân tử trong PT và HPT

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH


Bùi Thế Việt, lớp 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình
Yahoo: vietpro213tb


Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.
I. Phương trình vô tỷ:
Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:
$$f+k\sqrt{g}=\left( a+{{k}_{1}}\sqrt{{{g}_{1}}} \right)\left( b+{{k}_{2}}\sqrt{{{g}_{2}}} \right)$$
Phương pháp phân tích:
1. Tìm nghiệm của phương trình
2. Ta chia làm hai trường hợp:
a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ
Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau:
VD1: Giải phương trình: $f(x)={{x}^{2}}+1-(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\{ 1 \pm \sqrt{2} \}$
Bước 2: Tại giá trị $x$là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:
$$x=1+\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$
$$x=1-\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$
Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là $\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:
$$f(x)+(x+1)(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2)={{x}^{2}}-2x-1$$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:
$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) ={x}^{2}-2\,x-1$$
Suy ra: $$f(x)=\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}+2 \right)-\left( x+1\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\\f(x)= \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt{{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) - \left( x+1 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) = \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-x+1 \right)$$
Bài giải: Bạn đọc tự giải
Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ. Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:
VD2: Giải phương trình: $$f(x)=5x+7+13\sqrt{x-1}-9\sqrt{x+1}-7\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0$$
Hướng giải: (tương tự VD1)
Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là $S=\frac{20-4\sqrt{7}}{9},\frac{35+9\sqrt{5}}{8}$
Bước 2: Tại $x=\frac{20-4\sqrt{7}}{9}$ thì $\sqrt{x-1}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ và $\sqrt{x+1}=\frac{-1+2\sqrt{7}}{3}$
Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích $f(x)$thành nhân tử thì trong nhân tử đó có dạng $a\sqrt{x-1}+b\sqrt{x+1}+c$với $a,b,c$ là các số nguyên. Do đó, ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa các căn thức: \[\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1=0\]
Tương tự với nghiệm \[x=\frac{35+9\sqrt{5}}{8}\] thì mối liên hệ giữa các căn thức là: $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6=0$
Do đó $f(x)$ chứa các nhân tử $\left( \sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1 \right)$ và $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6$
Bước 4: Nhẩm thấy $f(x)= \left( \sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6 \right) \left( 2\,\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}+1 \right)$
(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần $f(x)$ thành các cụm chứa nhân tử đó)
Bài giải: Bạn đọc tự giải
b) Nghiệm của phương trình là số nguyên:
TH1: Phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức, biểu thức trong căn có dạng $\sqrt{ax+b}$
Lưu ý: Kể cả khi nghiệm của phương trình là số vô tỷ vẫn có thể áp dụng được phương pháp này.
VD3: Giải phương trình: $f(x)=2{{x}^{2}}-3x+2-x\sqrt{3x-2}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Đặt $t=\sqrt{3x-2} \to x=\frac{t^2+2}{3}$
Bước 2: Thế $x=\frac{t^2+2}{3}$ vào phương trình, ta được:
\[f(x)=2{{\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3} \right)}^{2}}-{{t}^{2}}-\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3}\right)t=\frac{1}{ 9}(t-1)(t-2)(2{{t}^{2}}+3t+4)\]
Bước 3: Thay ngược trở lại: $t=\sqrt{3x-2}$ và $t^2=3x-2$ vào các nhân tử, ta được:
$$f(x)=\frac{1}{9}\left( \sqrt{3x-2}-1 \right)\left( \sqrt{3x-2}-2 \right)\left( 2\left( 3x-2 \right)+3\sqrt{3x-2}+4 \right)$$
$$f(x)= \frac{1}{9}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2 \left( 3\,x-2 \right)+3\,\sqrt {3\,x-2}+4 \right)= \frac{1}{3}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2\,x+\sqrt {3\,x-2} \right)$$
Từ đó ta có thể phân tích thành nhân tử.
TH2: Phương trình vô tỷ chứa 1 căn thức nhưng biểu thức trong căn thức là đa thức bậc cao.
VD4: Giải phương trình: $f(x)=2\,{x}^{3}+x-2- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$
Nhận xét: Phương trình này khá khó phân tích thành nhân tử vì nó chỉ có nghiệm $x=2$nên căn thức và biến khó có mối liên hệ nào. Do đó, ta sẽ nghĩ tới việc tìm nghiệm phức của phương trình.
Bước 1: Từ giải thiết ta có:
$0=\left( 2\,{x}^{3}+x-2 \right) ^{2}- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) ^{2} \left( {x}^{2}-x-1 \right)= - \left( x-2 \right) \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right) \left( 4\,{x}^{3}+4\,{x}^{2}+3\,x+2 \right)$
Ta không quan tâm đến nghiệm $x=2$mà quan tâm đến nhân tử $3x^2-3x+2$.
Bước 2: Nếu $x$ thỏa mãn $3x^2-3x+2=0$ thì khi đó $\sqrt{x^2-x-1}=\frac{\sqrt{15}}{3} i=1-2x$
Do đó $f(x)$ sẽ có nhân tử là $\left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu với nhân tử để làm mất căn thức:
$f(x)+\left(4x^2-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)= -2\,x \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right)$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử tìm được ở bước 2:
$\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) =-3\,{x}^{2}+3\,x-2$
Từ đó ta được:
$$f(x)=2x\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}+2x-1 \right)-\left( 4{{x}^{2}}-x+2\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)$$
$$f(x)= 2\,x \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) - \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)=\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left( 2\,x\sqrt {{x}^{2}-x-1}-x-2 \right)$$
TH3: Phương trình vô tỷ chứa nhiều căn thức và các hệ số là các số nguyên nhỏ
Lưu ý: Trường hợp này cũng áp dụng cho VD2
VD5: Giải phương trình: $f(x)=8{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}-8x-127+73\sqrt{x+1}+39x\sqrt{x-1}=0$
Giả sử sau khi phân tích thành nhân tử, $f(x)$ trở thành:
$\left( a\sqrt {x+1}+b\sqrt {x-1}+c \right) \left( d\sqrt {x+1}+e\sqrt {x-1}+f \right)$
Do $f(x)$ mất hệ số $\sqrt{x^2-1}$, hệ số của $\sqrt{x-1}$ chỉ là $39x$ , không chứa hệ số tự do nên $b=ux,e=vx$, $du+av=0$, $u,v$ là các số nguyên. Hệ số của $\sqrt{x+1}$ là một số nguyên, $c$ và $f$ cũng là các số nguyên nên $a,d$ là các số nguyên.
Tóm lại là $f(x)$ có dạng: $\left( k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m \right) \left( t\sqrt {x+1}-tx\sqrt {x-1}+n \right)$
Dễ thấy $x=\frac{5}{4}$ là nghiệm của phương trình nên tồn tại một nhân tử nhận $x=\frac{5}{4}$ làm nghiệm
Nếu \[\left( k\sqrt{x+1}+kx\sqrt{x-1}+m \right)=0\]tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $\frac{17}{8}k+m=0$ hay $m=-\frac{17}{8}k$
Vậy $k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m=k \left( \sqrt {x+1}+x\sqrt {x-1}-{\frac{17}{8}} \right)$
Suy ra $f(x)$ có nhân tử là $\left(8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17\right)$
Dễ dàng phân tích được $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right) \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$
Nếu $\left( t\sqrt{x+1}-tx\sqrt{x-1}+n \right)=0$ tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $n=-\frac{7}{8}t$
Khi đó $f(x)$ có nhân tử $8\,\sqrt {x+1}-8\,x\sqrt {x-1}-7$
Suy ra nhân tử còn lại là $8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-7$
Thành thử thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right) \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$
Lưu ý: Cách làm trên chủ yếu dựa vào đánh giá, không khái quát được cách làm, dễ nhầm lẫn. Do đó, ta có thể biến đổi phương trình thành
\[8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=0\] với $a=\sqrt{x+1},b=x\sqrt{x-1}$
Khi đó $8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=-\left( 8a+8b-17 \right)\left( a-7-b \right)=0$
TH4: Phương trình vô tỷ có nhiều căn thức, có nhiều hơn hai nghiệm hữu tỷ:
Lưu ý: Trường hợp này hiếm gặp
VD: Giải phương trình: $f(x)=11\,x+47-\sqrt {{x}^{2}-1}-6\,\sqrt {x-1}-38\,\sqrt {x+1}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{ \frac{5}{4},\frac{325}{36} \right\}$
Bước 2: Xét từng giá trị của nghiệm để tìm hai số $a,b$ thỏa mãn:
$\sqrt{x-1}+a\sqrt{x+1}+b=0$
Ta được $a=-\frac{7}{5},b=\frac{8}{5}$
Chứng tỏ có một nhân tử $\left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right)$
Bước 3: Chia đa thức ta được $f(x)= \left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right) \left( 2\,\sqrt {x-1}+3\,\sqrt {x+1}-2 \right)$
Tóm lại: Việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm được nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm còn giúp ích trong việc giải hệ phương trình, do đó kỹ năng nhẩm nghiệm cũng khá quan trọng.

II. Hệ phương trình hệ số nguyên
Sau đây là một phương pháp mới em tự nghĩ ra cho việc giải hệ phương trình với hệ số nguyên. Phương pháp này yêu cầu phải biết trước một vài cặp nghiệm của hệ phương trình và cũng yêu cầu sự chăm chỉ trong việc phân tích thành nhân tử.

Để hiểu được phương pháp, ta thử làm một ví
dụ sau:
VD7: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+3xy-9{{y}^{2}}+23y-17=0 \\ & {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}-6y-3=0\\ \end{align} \right.$$
Hướng giải:
Đặt $a=x^2+3xy-9y^2+23y-17$ và $b=x^2-2xy+3y^2-6y-3$
Cách 1: Từ giả thiết ta có:
$$0=a+b=(x+2y-5)(2x-3y+4)$$
Cách 2: Từ giả thiết ta có:
$$0=33a+59b=(23x+24y-123)(4x-5y+6)$$
Từ các cách trên ta có thể thế $x=my+n$ vào một trong hai phương trình $a=0$ hoặc $b=0$. Lời giải dành cho bạn đọc
Nhận xét: Theo cách 1, nhiều người có thể nghĩ tới việc phân tích nhân tử $a+b$. Tuy nhiên, nếu làm theo cách 2 thì tại sao lại xuất hiện việc phân tích thành nhân tử $33a+59b$, tại sao lại không lấy các hệ số khác mà lại lấy hệ số $(33,59)$? Do đó phương pháp này giúp các bạn tìm các hệ số cần biến đổi để phân tích được thành nhân tử.
Như phương pháp phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp này làm các trường hợp khác nhau:
TH1: Hệ phương trình hai ẩn dạng:
\[\left\{ \begin{matrix} A={{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}{{y}^{2}}+{{c}_{1}}x y+{{d}_{1}}x+{{e}_{1}}y+{{f}_{1}}=0 \\B={{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{y}^{2}}+{{c}_{2} }xy+{{d}_{2}}x+{{e}_{2}}y+{{f}_{2}}=0 \\\end{matrix} \right.\]
Ta cần tìm hệ số $k$ sao cho $A+kB$ có thể phân tích thành nhân tử .
Cách 1: Đặt $$a={{a}_{1}}+k{{a}_{2}},b={{b}_{1}}+k{{b}_{2}},c= {{c}_{1}}+k{{c}_{2}},$$
$$a=a_1+ka_2,b=b_1+kb_2,c=c_1+kc_2,d=d_1+kd_2,e=e_ 1+ke_2,f=f_1+kf_2$$
Khi đó $k$ là nghiệm của phương trình sau với $a \neq 0$
$$(cd-2ae)^2=(c^2-4ab)(d^2-4af)$$
hoặc có thể viết gọn hơn thành:
$$cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$$

Cách 2: Tìm ít nhất hai cặp nghiệm của hệ phương trình, giả sử đó là $(x,y)=(m,n);(p,q)$
Khi đó hai điểm $(m,n);(p,q)$ thuộc đường thẳng $\left( n-q \right) x- \left( m-p \right) y+mq-np=0$
Cho $(a,b)$ là một điểm khác $(x,y)=(m,n);(p,q)$thuộc đường thẳng này. Khi đó, tại $(x,y)=(a,b)$ thì $A=A_1,B=B_1$ là các hằng số. Vậy $k=-\frac{{{A}_{1}}}{{{B}_{1}}}$
VD8: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-6xy+x-3y-624=0 \\ 21{{x}^{2}}-24{{y}^{2}}-30xy-83x+49y+585=0 \\\end{matrix} \right.$$
Hướng giải:
a) Theo cách 1 thì $k$ là nghiệm của phương trình: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$
Với $a=1+21k,b=8-24k,c=-6-30k,d=1-83k,e=-3+49k,f=-624+585k$
Ta được $(9k-11)(31k-1)(5265k-227)=0$
Từ đó ta được 3 cách làm cho bài toán này.

b) Theo cách 2, ta tìm trước các nghiệm của hệ phương trình:
$$\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right);\left( -\frac{131}{72},\frac{1201}{144} \right)$$
Chọn hai cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là:
$26x-56y-507=0$
Do đó, điểm $\left( \frac{39}{2},0 \right)$ thuộc đường thẳng này. Tại điểm này thì $A=-\frac{897}{4}$, $B=\frac{27807}{4}$
Vậy $k=-\frac{A}{B}=\frac{1}{31}$
Tức là phân tích thành nhân tử đa thức$31A+B$, ta được $(2x-4y+37)(26x-56y-507)=0$
Lưu ý: Theo cách 2 thì sau khi tìm được $k$ và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm nghiệm thì sau khi phân tích thành nhân tử, sẽ có một nhân tử chính là phương trình đường thẳng đó.

TH2: Hệ phương trình hai ẩn hệ số nguyên có dạng khác TH1
Ở đây, hệ số $k$ cần nhân thêm vào không phải là một hằng số mà là một biểu thức chứa biến.
Cách làm sẽ có một số sự khác biệt so với TH1. Hãy xem cách làm một bài hệ phương trình sau đây, nó sẽ khiến một bài Hệ phương trình có khá nhiều cách làm.

VD9: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0\end{matrix}\right.$$
Hướng giải:
Đặt $a=3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0$$b=2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0$.

Bước 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình, cần ít nhất là hai bộ nghiệm hữu tỷ hoặc một bộ nghiệm vô tỷ.
Phương trình trên có 2 cặp nghiệm dễ thấy nhất là $(x,y)=(0,0);(2,-1)$
Ngoài ra còn các cặp nghiệm $(10,15);\left( \frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{145} \right);$
$(10,15);\left(\frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{14 5} \right); \left(\frac{15-\sqrt{145}}{2},11-\sqrt{145}\right)$
Bước 2: Chọn 2 cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $(x,y)=(0,0);(2,-1)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là $x+2y=0$
Tại $x=-2y$ thì $a=9y(y+1)$ và $b=-20y(y+1)(y-1)$
Vậy để sau khi phân tích thành nhân tử có nhân tử là $(x+2y)$ thì cần lấy $20(y-1)a+9b=0$ rồi phân tích thành nhân tử.
Tức là $20(y-1)a+9b$
$20(y-1)a+9b= \left( x+2\,y \right) \left( 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y \right)$
Bước 3: Xét hệ mới:
$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y=0\end{matrix}\right.$

Theo TH1 ta sẽ tìm được các cách khác nhau để phân tích nhân tử hệ mới này.

Nhận xét: Với mỗi 2 cặp nghiệm, ta có được khoảng 3 cách cho mỗi trường hợp. Do đó bài toán trên có khoảng hơn 10 cách làm, nhưng hầu hết cách làm đều giống nhau. Với những cách làm kiểu như này, khá khó khăn cho người chấm thi, và cũng khá khó khăn cho cả người làm bài vì dễ viết sai. Tuy nhiên, phương pháp này có thể giải quyết được nhiều hệ phương trình hệ số nguyên. Xét ví dụ sau:
VD10: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4-240=0\\ x^3-2y^3-3(x^2-4y^2)+4(x-8y)=0\end{matrix}\right.$
Hướng giải: Gọi $a$ là VT của PT(1)
$b$ là VT của PT(2). Dễ thấy hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên theo phương pháp thì chúng ta nghĩ tới việc cho $x=2y$,từ đó lấy $5(y^2+4)a-2yb=0$. Tuy nhiên, cách này khá dài, không khả quan vì hai phương trình không chứa hệ số xy. Ta sẽ đặt $x=\pm y+k$ để PT(1) giảm bậc xuống còn bậc 3, PT(2) vẫn là bậc 3, thuận tiện trong việc tìm hệ số $k$ là một hằng số chứ không phải là một biểu thức nữa. Do hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên ta tìm được nhân tử là $(x+y-6)$hoặc $(x+y+6)$
Tại $x=6-y$ thì $a=-24(y-2)(y^2-7y+22)$
Và $b=-3(y-2)(y^2-7y+22)$
Duy ra $k=-8$
Vậy lấy $PT(1)-8PT(2)$ ta được:
$(x+y-6)(x-y+2)((x-2)^2+(y-4)^2)=0$
Còn tại $x=-6-y$ thì $a=24(y+2)(y^2+7y+22)$ và $b=-3(y+2)(y^2+y+58)$
Khi đó $k$ không phải là hằng số nên loại
Vậy ta có thể phân tích nhân tử bằng cách trên.

VD11: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2y^2+3x+3y-3=0\\ x^2y-4xy-3y^2+2y-x+1=0\end{matrix}\right.$
Hướng giải:
Gọi a, b là VT của PT(1), PT(2)
Dễ thấy HPT có nghiệm $(x,y)= (0,1) ; (1,0)$ nên ta nghĩ tới việc thay $x=1-y$
Tại $x=1-y$ thì $a=y^2(y-1)^2$ và $b=y^2(y-1)$. Do đó $k=1-y$
Vậy ta phân tích thành nhân tử đa thức: $a+(1-y)b$, ta được:
$(x+y-1)(3y^2+xy-2y+2)=0$
Xét hệ mới:
$\left\{ \begin{matrix} 3y^2+xy-2y+2=0 \\ {{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=0 \\\end{matrix} \right.$
Trong các nghiệm của HPT này, có một cặp nghiệm mà ta phải để ý tới:
$(x,y)=\left(3,\frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{6}\right)$

Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm này là $x=3$. Tại $x=3$ thì HPT trở thành 2 PT bậc 2 nên ta cho $y=0$ (hoặc bao nhiêu cũng được), khi đó $3y\hat{\ }2+xy-2y+2=2$và ${{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=-2$. Từ đó $k=1$, nên cộng 2 PT này với nhau, ta được: $(x-3)(xy-1)=0$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



B kp sử dụng CASIO n thi Đại học
*
*
*
*


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 59 người đã cảm ơn cho bài viết này
$FOEVER\oint_{N}^{T}$ (13-05-2015), catbuilata (11-04-2013), Neverland (15-12-2014), OoMưaOo (22-01-2014), Học Toán THPT (15-05-2015), Hồng Sơn-cht (10-04-2013), hbtoanag (09-04-2013), hero_math96 (04-10-2013), hiếuctb (08-04-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (16-06-2013), hoangphilongpro (18-07-2013), huutrongpro95 (27-06-2013), Huy Lê (10-06-2014), huyenthuc (19-04-2013), huyentoan (17-03-2015), huynhminhman96 (23-06-2013), thienmenh6 (12-12-2014), Joker9999 (09-11-2013), Kị sĩ ánh sáng (04-04-2014), Lê Như Hòa (15-12-2014), Lê Đình Mẫn (09-04-2013), Lạnh Như Băng (08-04-2013), loc24 (30-05-2013), Lotxackhongngun (10-10-2013), LSG (15-12-2014), Trần Quốc Luật (10-04-2013), Lưỡi Cưa (05-06-2013), maitung (03-06-2013), Mạnh (08-04-2013), Miền cát trắng (08-04-2013), miền cát trắng hải lăng (21-12-2014), minhlaai? (11-09-2013), Missyou12aBG (04-02-2014), Monkey D Luffy (16-11-2014), Nắng vàng (19-07-2013), ngocthu (26-07-2014), Nguyễn Bình (08-04-2013), Nguyễn Duy Hồng (27-06-2013), Piccolo San (29-12-2014), Nguyễn Văn Quốc Tuấn (26-10-2014), nhatqny (16-06-2013), Phạm Kim Chung (09-04-2013), Phạm Văn Lĩnh (25-11-2013), quangkhainlyb97 (19-11-2014), Quân Nguễn (11-11-2017), Quân Sư (26-07-2014), s2_la (08-06-2013), SilverAce (16-11-2013), svdhv (15-12-2014), thanh phong (10-06-2014), thái bình (08-04-2013), tkvn159 (17-05-2013), Hoàng Kim Quý (18-07-2013), tritructq (22-08-2015), TTLHTY (08-04-2013), Tuấn Anh Eagles (08-04-2013), vinh1b (16-04-2013), vudinhtuan1995 (29-05-2013), Đặng Thành Nam (18-06-2013)
  #2  
Cũ 08-04-2013, 23:00
Avatar của TTLHTY
TTLHTY TTLHTY đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 94
Điểm: 12 / 1291
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7939
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 36
Đã cảm ơn : 58
Được cảm ơn 18 lần trong 7 bài viết

Mặc định

Cái này mình xem mấy anh chị GSTT làm nên cũng biết ít
Cái quan trong là mình không xác định được cái tập nghiệm đặc biệt là có căn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 12 người đã cảm ơn cho bài viết này
Cổ Lực Na Trát (04-05-2013), dang_thu_van (04-01-2014), Hiệp sỹ bóng đêm (16-06-2013), hoangphilongpro (25-05-2013), Huy Lê (10-06-2014), huyenthuc (19-04-2013), huynhminhman96 (23-06-2013), Lưỡi Cưa (27-06-2013), maitung (03-06-2013), namga (06-10-2015), nhatqny (16-06-2013), PhHPhuong (30-07-2013)
  #3  
Cũ 18-07-2013, 16:11
Avatar của huynhminhman96
huynhminhman96 huynhminhman96 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Đắk Nông
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 2
Điểm: 1 / 39
Kinh nghiệm: 10%

Thành viên thứ: 1701
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 3
Đã cảm ơn : 22
Đã được cảm ơn 1 lần trong 1 bài viết

Mặc định

cái này thì cần sử dụng máy tính tìm ra nghiệm rồi truy ngược ra căn thức(đối với những cái căn không quá "dữ dội")


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 12-11-2013, 02:47
Avatar của nguyenxuanthai
nguyenxuanthai nguyenxuanthai đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 190
Điểm: 31 / 2870
Kinh nghiệm: 62%

Thành viên thứ: 862
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 93
Đã cảm ơn : 407
Được cảm ơn 114 lần trong 54 bài viết

Mặc định Re: Phương pháp phân tích nhân tử trong PT và HPT

Mọi người ơi, cho em hỏi là phương trình : thì phân tích thành nhân tử như thế nào ạ? Nhờ mọi người nói rõ hướng làm. Em xin cám ơn.


RÚT ĐAO CHÉM NƯỚC, NƯỚC CÀNG CHẢY
UỐNG RƯỢU TIÊU SẦU, SẦU CÀNG SÂU


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 12-11-2013, 23:24
Avatar của hungdang
hungdang hungdang đang online
Điều Hành Diễn Đàn
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 83 / 834
Điểm: 553 / 11955
Kinh nghiệm: 39%

Thành viên thứ: 3145
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.661
Đã cảm ơn : 7
Được cảm ơn 1.263 lần trong 733 bài viết

Mặc định Re: Phương pháp phân tích nhân tử trong PT và HPT

Nguyên văn bởi nthoangcute Xem bài viết
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH


Bùi Thế Việt, lớp 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình
Yahoo: vietpro213tb


Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.
I. Phương trình vô tỷ:
Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:
$$f+k\sqrt{g}=\left( a+{{k}_{1}}\sqrt{{{g}_{1}}} \right)\left( b+{{k}_{2}}\sqrt{{{g}_{2}}} \right)$$
Phương pháp phân tích:
1. Tìm nghiệm của phương trình
2. Ta chia làm hai trường hợp:
a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ
Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau:
VD1: Giải phương trình: $f(x)={{x}^{2}}+1-(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\{ 1 \pm \sqrt{2} \}$
Bước 2: Tại giá trị $x$là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:
$$x=1+\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$
$$x=1-\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$
Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là $\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:
$$f(x)+(x+1)(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2)={{x}^{2}}-2x-1$$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:
$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) ={x}^{2}-2\,x-1$$
Suy ra: $$f(x)=\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}+2 \right)-\left( x+1\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\\f(x)= \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt{{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) - \left( x+1 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) = \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-x+1 \right)$$
Bài giải: Bạn đọc tự giải
Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ. Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:
VD2: Giải phương trình: $$f(x)=5x+7+13\sqrt{x-1}-9\sqrt{x+1}-7\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0$$
Hướng giải: (tương tự VD1)
Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là $S=\frac{20-4\sqrt{7}}{9},\frac{35+9\sqrt{5}}{8}$
Bước 2: Tại $x=\frac{20-4\sqrt{7}}{9}$ thì $\sqrt{x-1}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ và $\sqrt{x+1}=\frac{-1+2\sqrt{7}}{3}$
Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích $f(x)$thành nhân tử thì trong nhân tử đó có dạng $a\sqrt{x-1}+b\sqrt{x+1}+c$với $a,b,c$ là các số nguyên. Do đó, ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa các căn thức: \[\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1=0\]
Tương tự với nghiệm \[x=\frac{35+9\sqrt{5}}{8}\] thì mối liên hệ giữa các căn thức là: $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6=0$
Do đó $f(x)$ chứa các nhân tử $\left( \sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1 \right)$ và $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6$
Bước 4: Nhẩm thấy $f(x)= \left( \sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6 \right) \left( 2\,\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}+1 \right)$
(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần $f(x)$ thành các cụm chứa nhân tử đó)
Bài giải: Bạn đọc tự giải
b) Nghiệm của phương trình là số nguyên:
TH1: Phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức, biểu thức trong căn có dạng $\sqrt{ax+b}$
Lưu ý: Kể cả khi nghiệm của phương trình là số vô tỷ vẫn có thể áp dụng được phương pháp này.
VD3: Giải phương trình: $f(x)=2{{x}^{2}}-3x+2-x\sqrt{3x-2}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Đặt $t=\sqrt{3x-2} \to x=\frac{t^2+2}{3}$
Bước 2: Thế $x=\frac{t^2+2}{3}$ vào phương trình, ta được:
\[f(x)=2{{\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3} \right)}^{2}}-{{t}^{2}}-\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3}\right)t=\frac{1}{ 9}(t-1)(t-2)(2{{t}^{2}}+3t+4)\]
Bước 3: Thay ngược trở lại: $t=\sqrt{3x-2}$ và $t^2=3x-2$ vào các nhân tử, ta được:
$$f(x)=\frac{1}{9}\left( \sqrt{3x-2}-1 \right)\left( \sqrt{3x-2}-2 \right)\left( 2\left( 3x-2 \right)+3\sqrt{3x-2}+4 \right)$$
$$f(x)= \frac{1}{9}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2 \left( 3\,x-2 \right)+3\,\sqrt {3\,x-2}+4 \right)= \frac{1}{3}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2\,x+\sqrt {3\,x-2} \right)$$
Từ đó ta có thể phân tích thành nhân tử.
TH2: Phương trình vô tỷ chứa 1 căn thức nhưng biểu thức trong căn thức là đa thức bậc cao.
VD4: Giải phương trình: $f(x)=2\,{x}^{3}+x-2- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$
Nhận xét: Phương trình này khá khó phân tích thành nhân tử vì nó chỉ có nghiệm $x=2$nên căn thức và biến khó có mối liên hệ nào. Do đó, ta sẽ nghĩ tới việc tìm nghiệm phức của phương trình.
Bước 1: Từ giải thiết ta có:
$0=\left( 2\,{x}^{3}+x-2 \right) ^{2}- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) ^{2} \left( {x}^{2}-x-1 \right)= - \left( x-2 \right) \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right) \left( 4\,{x}^{3}+4\,{x}^{2}+3\,x+2 \right)$
Ta không quan tâm đến nghiệm $x=2$mà quan tâm đến nhân tử $3x^2-3x+2$.
Bước 2: Nếu $x$ thỏa mãn $3x^2-3x+2=0$ thì khi đó $\sqrt{x^2-x-1}=\frac{\sqrt{15}}{3} i=1-2x$
Do đó $f(x)$ sẽ có nhân tử là $\left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu với nhân tử để làm mất căn thức:
$f(x)+\left(4x^2-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)= -2\,x \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right)$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử tìm được ở bước 2:
$\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) =-3\,{x}^{2}+3\,x-2$
Từ đó ta được:
$$f(x)=2x\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}+2x-1 \right)-\left( 4{{x}^{2}}-x+2\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)$$
$$f(x)= 2\,x \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) - \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)=\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left( 2\,x\sqrt {{x}^{2}-x-1}-x-2 \right)$$
TH3: Phương trình vô tỷ chứa nhiều căn thức và các hệ số là các số nguyên nhỏ
Lưu ý: Trường hợp này cũng áp dụng cho VD2
VD5: Giải phương trình: $f(x)=8{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}-8x-127+73\sqrt{x+1}+39x\sqrt{x-1}=0$
Giả sử sau khi phân tích thành nhân tử, $f(x)$ trở thành:
$\left( a\sqrt {x+1}+b\sqrt {x-1}+c \right) \left( d\sqrt {x+1}+e\sqrt {x-1}+f \right)$
Do $f(x)$ mất hệ số $\sqrt{x^2-1}$, hệ số của $\sqrt{x-1}$ chỉ là $39x$ , không chứa hệ số tự do nên $b=ux,e=vx$, $du+av=0$, $u,v$ là các số nguyên. Hệ số của $\sqrt{x+1}$ là một số nguyên, $c$ và $f$ cũng là các số nguyên nên $a,d$ là các số nguyên.
Tóm lại là $f(x)$ có dạng: $\left( k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m \right) \left( t\sqrt {x+1}-tx\sqrt {x-1}+n \right)$
Dễ thấy $x=\frac{5}{4}$ là nghiệm của phương trình nên tồn tại một nhân tử nhận $x=\frac{5}{4}$ làm nghiệm
Nếu \[\left( k\sqrt{x+1}+kx\sqrt{x-1}+m \right)=0\]tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $\frac{17}{8}k+m=0$ hay $m=-\frac{17}{8}k$
Vậy $k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m=k \left( \sqrt {x+1}+x\sqrt {x-1}-{\frac{17}{8}} \right)$
Suy ra $f(x)$ có nhân tử là $\left(8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17\right)$
Dễ dàng phân tích được $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right) \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$
Nếu $\left( t\sqrt{x+1}-tx\sqrt{x-1}+n \right)=0$ tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $n=-\frac{7}{8}t$
Khi đó $f(x)$ có nhân tử $8\,\sqrt {x+1}-8\,x\sqrt {x-1}-7$
Suy ra nhân tử còn lại là $8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-7$
Thành thử thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right) \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$
Lưu ý: Cách làm trên chủ yếu dựa vào đánh giá, không khái quát được cách làm, dễ nhầm lẫn. Do đó, ta có thể biến đổi phương trình thành
\[8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=0\] với $a=\sqrt{x+1},b=x\sqrt{x-1}$
Khi đó $8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=-\left( 8a+8b-17 \right)\left( a-7-b \right)=0$
TH4: Phương trình vô tỷ có nhiều căn thức, có nhiều hơn hai nghiệm hữu tỷ:
Lưu ý: Trường hợp này hiếm gặp
VD: Giải phương trình: $f(x)=11\,x+47-\sqrt {{x}^{2}-1}-6\,\sqrt {x-1}-38\,\sqrt {x+1}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{ \frac{5}{4},\frac{325}{36} \right\}$
Bước 2: Xét từng giá trị của nghiệm để tìm hai số $a,b$ thỏa mãn:
$\sqrt{x-1}+a\sqrt{x+1}+b=0$
Ta được $a=-\frac{7}{5},b=\frac{8}{5}$
Chứng tỏ có một nhân tử $\left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right)$
Bước 3: Chia đa thức ta được $f(x)= \left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right) \left( 2\,\sqrt {x-1}+3\,\sqrt {x+1}-2 \right)$
Tóm lại: Việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm được nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm còn giúp ích trong việc giải hệ phương trình, do đó kỹ năng nhẩm nghiệm cũng khá quan trọng.

II. Hệ phương trình hệ số nguyên
Sau đây là một phương pháp mới em tự nghĩ ra cho việc giải hệ phương trình với hệ số nguyên. Phương pháp này yêu cầu phải biết trước một vài cặp nghiệm của hệ phương trình và cũng yêu cầu sự chăm chỉ trong việc phân tích thành nhân tử.

Để hiểu được phương pháp, ta thử làm một ví
dụ sau:
VD7: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+3xy-9{{y}^{2}}+23y-17=0 \\ & {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}-6y-3=0\\ \end{align} \right.$$
Hướng giải:
Đặt $a=x^2+3xy-9y^2+23y-17$ và $b=x^2-2xy+3y^2-6y-3$
Cách 1: Từ giả thiết ta có:
$$0=a+b=(x+2y-5)(2x-3y+4)$$
Cách 2: Từ giả thiết ta có:
$$0=33a+59b=(23x+24y-123)(4x-5y+6)$$
Từ các cách trên ta có thể thế $x=my+n$ vào một trong hai phương trình $a=0$ hoặc $b=0$. Lời giải dành cho bạn đọc
Nhận xét: Theo cách 1, nhiều người có thể nghĩ tới việc phân tích nhân tử $a+b$. Tuy nhiên, nếu làm theo cách 2 thì tại sao lại xuất hiện việc phân tích thành nhân tử $33a+59b$, tại sao lại không lấy các hệ số khác mà lại lấy hệ số $(33,59)$? Do đó phương pháp này giúp các bạn tìm các hệ số cần biến đổi để phân tích được thành nhân tử.
Như phương pháp phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp này làm các trường hợp khác nhau:
TH1: Hệ phương trình hai ẩn dạng:
\[\left\{ \begin{matrix} A={{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}{{y}^{2}}+{{c}_{1}}x y+{{d}_{1}}x+{{e}_{1}}y+{{f}_{1}}=0 \\B={{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{y}^{2}}+{{c}_{2} }xy+{{d}_{2}}x+{{e}_{2}}y+{{f}_{2}}=0 \\\end{matrix} \right.\]
Ta cần tìm hệ số $k$ sao cho $A+kB$ có thể phân tích thành nhân tử .
Cách 1: Đặt $$a={{a}_{1}}+k{{a}_{2}},b={{b}_{1}}+k{{b}_{2}},c= {{c}_{1}}+k{{c}_{2}},$$
$$a=a_1+ka_2,b=b_1+kb_2,c=c_1+kc_2,d=d_1+kd_2,e=e_ 1+ke_2,f=f_1+kf_2$$
Khi đó $k$ là nghiệm của phương trình sau với $a \neq 0$
$$(cd-2ae)^2=(c^2-4ab)(d^2-4af)$$
hoặc có thể viết gọn hơn thành:
$$cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$$

Cách 2: Tìm ít nhất hai cặp nghiệm của hệ phương trình, giả sử đó là $(x,y)=(m,n);(p,q)$
Khi đó hai điểm $(m,n);(p,q)$ thuộc đường thẳng $\left( n-q \right) x- \left( m-p \right) y+mq-np=0$
Cho $(a,b)$ là một điểm khác $(x,y)=(m,n);(p,q)$thuộc đường thẳng này. Khi đó, tại $(x,y)=(a,b)$ thì $A=A_1,B=B_1$ là các hằng số. Vậy $k=-\frac{{{A}_{1}}}{{{B}_{1}}}$
VD8: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-6xy+x-3y-624=0 \\ 21{{x}^{2}}-24{{y}^{2}}-30xy-83x+49y+585=0 \\\end{matrix} \right.$$
Hướng giải:
a) Theo cách 1 thì $k$ là nghiệm của phương trình: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$
Với $a=1+21k,b=8-24k,c=-6-30k,d=1-83k,e=-3+49k,f=-624+585k$
Ta được $(9k-11)(31k-1)(5265k-227)=0$
Từ đó ta được 3 cách làm cho bài toán này.

b) Theo cách 2, ta tìm trước các nghiệm của hệ phương trình:
$$\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right);\left( -\frac{131}{72},\frac{1201}{144} \right)$$
Chọn hai cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là:
$26x-56y-507=0$
Do đó, điểm $\left( \frac{39}{2},0 \right)$ thuộc đường thẳng này. Tại điểm này thì $A=-\frac{897}{4}$, $B=\frac{27807}{4}$
Vậy $k=-\frac{A}{B}=\frac{1}{31}$
Tức là phân tích thành nhân tử đa thức$31A+B$, ta được $(2x-4y+37)(26x-56y-507)=0$
Lưu ý: Theo cách 2 thì sau khi tìm được $k$ và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm nghiệm thì sau khi phân tích thành nhân tử, sẽ có một nhân tử chính là phương trình đường thẳng đó.

TH2: Hệ phương trình hai ẩn hệ số nguyên có dạng khác TH1
Ở đây, hệ số $k$ cần nhân thêm vào không phải là một hằng số mà là một biểu thức chứa biến.
Cách làm sẽ có một số sự khác biệt so với TH1. Hãy xem cách làm một bài hệ phương trình sau đây, nó sẽ khiến một bài Hệ phương trình có khá nhiều cách làm.

VD9: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0\end{matrix}\right.$$
Hướng giải:
Đặt $a=3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0$$b=2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0$.

Bước 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình, cần ít nhất là hai bộ nghiệm hữu tỷ hoặc một bộ nghiệm vô tỷ.
Phương trình trên có 2 cặp nghiệm dễ thấy nhất là $(x,y)=(0,0);(2,-1)$
Ngoài ra còn các cặp nghiệm $(10,15);\left( \frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{145} \right);$
$(10,15);\left(\frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{14 5} \right); \left(\frac{15-\sqrt{145}}{2},11-\sqrt{145}\right)$
Bước 2: Chọn 2 cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $(x,y)=(0,0);(2,-1)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là $x+2y=0$
Tại $x=-2y$ thì $a=9y(y+1)$ và $b=-20y(y+1)(y-1)$
Vậy để sau khi phân tích thành nhân tử có nhân tử là $(x+2y)$ thì cần lấy $20(y-1)a+9b=0$ rồi phân tích thành nhân tử.
Tức là $20(y-1)a+9b$
$20(y-1)a+9b= \left( x+2\,y \right) \left( 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y \right)$
Bước 3: Xét hệ mới:
$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y=0\end{matrix}\right.$

Theo TH1 ta sẽ tìm được các cách khác nhau để phân tích nhân tử hệ mới này.

Nhận xét: Với mỗi 2 cặp nghiệm, ta có được khoảng 3 cách cho mỗi trường hợp. Do đó bài toán trên có khoảng hơn 10 cách làm, nhưng hầu hết cách làm đều giống nhau. Với những cách làm kiểu như này, khá khó khăn cho người chấm thi, và cũng khá khó khăn cho cả người làm bài vì dễ viết sai. Tuy nhiên, phương pháp này có thể giải quyết được nhiều hệ phương trình hệ số nguyên. Xét ví dụ sau:
VD10: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4-240=0\\ x^3-2y^3-3(x^2-4y^2)+4(x-8y)=0\end{matrix}\right.$
Hướng giải: Gọi $a$ là VT của PT(1)
$b$ là VT của PT(2). Dễ thấy hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên theo phương pháp thì chúng ta nghĩ tới việc cho $x=2y$,từ đó lấy $5(y^2+4)a-2yb=0$. Tuy nhiên, cách này khá dài, không khả quan vì hai phương trình không chứa hệ số xy. Ta sẽ đặt $x=\pm y+k$ để PT(1) giảm bậc xuống còn bậc 3, PT(2) vẫn là bậc 3, thuận tiện trong việc tìm hệ số $k$ là một hằng số chứ không phải là một biểu thức nữa. Do hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên ta tìm được nhân tử là $(x+y-6)$hoặc $(x+y+6)$
Tại $x=6-y$ thì $a=-24(y-2)(y^2-7y+22)$
Và $b=-3(y-2)(y^2-7y+22)$
Duy ra $k=-8$
Vậy lấy $PT(1)-8PT(2)$ ta được:
$(x+y-6)(x-y+2)((x-2)^2+(y-4)^2)=0$
Còn tại $x=-6-y$ thì $a=24(y+2)(y^2+7y+22)$ và $b=-3(y+2)(y^2+y+58)$
Khi đó $k$ không phải là hằng số nên loại
Vậy ta có thể phân tích nhân tử bằng cách trên.

VD11: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2y^2+3x+3y-3=0\\ x^2y-4xy-3y^2+2y-x+1=0\end{matrix}\right.$
Hướng giải:
Gọi a, b là VT của PT(1), PT(2)
Dễ thấy HPT có nghiệm $(x,y)= (0,1) ; (1,0)$ nên ta nghĩ tới việc thay $x=1-y$
Tại $x=1-y$ thì $a=y^2(y-1)^2$ và $b=y^2(y-1)$. Do đó $k=1-y$
Vậy ta phân tích thành nhân tử đa thức: $a+(1-y)b$, ta được:
$(x+y-1)(3y^2+xy-2y+2)=0$
Xét hệ mới:
$\left\{ \begin{matrix} 3y^2+xy-2y+2=0 \\ {{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=0 \\\end{matrix} \right.$
Trong các nghiệm của HPT này, có một cặp nghiệm mà ta phải để ý tới:
$(x,y)=\left(3,\frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{6}\right)$

Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm này là $x=3$. Tại $x=3$ thì HPT trở thành 2 PT bậc 2 nên ta cho $y=0$ (hoặc bao nhiêu cũng được), khi đó $3y\hat{\ }2+xy-2y+2=2$và ${{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=-2$. Từ đó $k=1$, nên cộng 2 PT này với nhau, ta được: $(x-3)(xy-1)=0$
Có link để tải không bạn? Bạn gửi đi.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 12-11-2013, 23:27
Avatar của Hiệp sỹ bóng đêm
Hiệp sỹ bóng đêm Hiệp sỹ bóng đêm đang ẩn
Học
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: nghe nhạc
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 683
Điểm: 343 / 10346
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 809
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.030
Đã cảm ơn : 3.654
Được cảm ơn 1.699 lần trong 639 bài viết

Mặc định Re: Phương pháp phân tích nhân tử trong PT và HPT

Nguyên văn bởi nguyenxuanthai Xem bài viết
Mọi người ơi, cho em hỏi là phương trình : thì phân tích thành nhân tử như thế nào ạ? Nhờ mọi người nói rõ hướng làm. Em xin cám ơn.
Phân tích phương trình đó thành tích \[\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)=0\]



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 16-11-2013, 01:08
Avatar của nguyenxuanthai
nguyenxuanthai nguyenxuanthai đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 190
Điểm: 31 / 2870
Kinh nghiệm: 62%

Thành viên thứ: 862
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 93
Đã cảm ơn : 407
Được cảm ơn 114 lần trong 54 bài viết

Mặc định Re: Phương pháp phân tích nhân tử trong PT và HPT

Nguyên văn bởi nguyenxuanthai Xem bài viết
Mọi người ơi, cho em hỏi là phương trình : thì phân tích thành nhân tử như thế nào ạ? Nhờ mọi người nói rõ hướng làm. Em xin cám ơn.
Mọi người cho em hỏi là có kĩ thuật dùng máy tính Casio để phân tích phương trình trên thành nhân tử không ạ ?


RÚT ĐAO CHÉM NƯỚC, NƯỚC CÀNG CHẢY
UỐNG RƯỢU TIÊU SẦU, SẦU CÀNG SÂU


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tài liệu phương pháp hàm số trong giải Hệ phương trình Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 0 25-05-2016 23:39
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. hoanghung [Tài liệu] Hình giải tích Oxy 0 17-05-2016 14:49
Tuyển tập Hệ phương trình giải được bằng phương pháp đánh giá Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 92 05-01-2016 11:15
[Oxy] Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ...Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa độ loanphuongtit Hình giải tích phẳng Oxy 4 13-04-2015 17:38
Cho tam giác ABC ...Điểm M(-4;1) thuộc cạnh AC.Viết pt đường thẳng AB tn24121997 Hình giải tích phẳng Oxy 5 05-04-2015 22:37



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
biến đổi nhân tử hệ pt, nhân, nhân nhẩm số ***• 11=680, nhÂn, phÁp, pháp, phân, phÂn, phƯƠng, phương, tÍch, tích, trÌnh, trong, x^2 8y^2-6xy x-3y-624=0
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014