Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 15-03-2013, 22:58
Avatar của nguyentronghai
nguyentronghai nguyentronghai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thanh Khê TC-NA
Nghề nghiệp: học sinh
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 246
Điểm: 46 / 4073
Kinh nghiệm: 84%

Thành viên thứ: 4438
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 139
Đã cảm ơn : 58
Được cảm ơn 92 lần trong 57 bài viết

Lượt xem bài này: 1532
Mặc định Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

Đóng góp ý tưởng nào các bạn


Hãy tích lũy kiến thức khi bạn còn đử sức


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (15-03-2013), Duy Sơn - CHT (24-03-2013)
  #2  
Cũ 15-03-2013, 23:20
Avatar của Hiệp sỹ bóng đêm
Hiệp sỹ bóng đêm Hiệp sỹ bóng đêm đang ẩn
Học
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: nghe nhạc
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 683
Điểm: 343 / 12063
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 809
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.030
Đã cảm ơn : 3.654
Được cảm ơn 1.700 lần trong 639 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi nguyentronghai Xem bài viết
Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

Đóng góp ý tưởng nào các bạn
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left( {\frac{a}{{16}} - \frac{a}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{b}{{16}} - \frac{b}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{c}{{16}} - \frac{c}{{{c^3} + 16}}} \right) \le \frac{1}{{48}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{1}{3}
\end{array}$
Mặt khác
$\begin{array}{l}
b{ \le ^{Cauchy}}\frac{{{b^3} + 8 + 8}}{{12}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} = \frac{{a{b^2}.b}}{{{b^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2}}}{{12}}
\end{array}$
Tương tự ta cũng có được:
$\begin{array}{l}
\frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} \le \frac{{b{c^2}}}{{12}};\\
\frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{c{a^2}}}{{12}}
\end{array}$
Suy ra:
$\frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{12}}$
Do đó, đề chứng minh bài toán đã cho thì việc cần thiết bây giờ là đi chứng minh:
$a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \le 4$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 15-03-2013, 23:31
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 9195
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 986 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thoheo Xem bài viết
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left( {\frac{a}{{16}} - \frac{a}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{b}{{16}} - \frac{b}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{c}{{16}} - \frac{c}{{{c^3} + 16}}} \right) \le \frac{1}{{48}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{1}{3}
\end{array}$
Mặt khác
$\begin{array}{l}
b{ \le ^{Cauchy}}\frac{{{b^3} + 8 + 8}}{{12}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} = \frac{{a{b^2}.b}}{{{b^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2}}}{{12}}
\end{array}$
Tương tự ta cũng có được:
$\begin{array}{l}
\frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} \le \frac{{b{c^2}}}{{12}};\\
\frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{c{a^2}}}{{12}}
\end{array}$
Suy ra:
$\frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{12}}$
Do đó, đề chứng minh bài toán đã cho thì việc cần thiết bây giờ là đi chứng minh:
$a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \le 4$
Việc cần thiết nhất lúc này là chứng minh thoheo sai!!!.
Tại thoheo xác định sai dấu đẳng thức rồi! Phải là $(a,b,c)=(1;2;0)$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Tuấn Anh Eagles 
  #4  
Cũ 16-03-2013, 12:24
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 15695
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.191 lần trong 1.384 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi nguyentronghai Xem bài viết
Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

Đóng góp ý tưởng nào các bạn
[TABLE]Giả sử $a=min\left \{ a,b,c \right \}$

Trường hợp 1 $a=0\Rightarrow b+c=3$

Như vậy cần chỉ ra $\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{16}\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow \left ( c-2 \right )^{2}\left ( 3c^{2}+4c+4 \right )\geq 0$ luôn đúng.

Trường hợp 2 $a> 0$ và ta phải chỉ ra $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16}> \frac{1}{6}$. Thật vậy:

$16VT=\sum a-\left ( \frac{ab^{3}}{b^{3}+8+8}+\frac{bc^{3}}{c^{3}+8+8}+ \frac{ca^{3}}{a^{3}+8+8} \right )\geq 3-\sum_{cyc}\frac{ab^{2}}{12}$

$> 3-\frac{\sum_{cyc}ab^{2}+abc}{12}\geq 3-\frac{\frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{2}}{12}=\frac{26}{9}\Rightarrow VT> \frac{13}{72}> \frac{1}{6}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )=\left ( 0,1,2 \right )$ và các hoán vị tương đương của chúng.[/TABLE]
_VMF_


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (31-03-2013), nguyenxuanthai (16-03-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$fracab3, 16, 3, âm, c3, các, chứng, cho, frac16$, fracbc3, fracca, fracca3, geq, không, mãn, minh, rằng, số, thỏa, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên