Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 15-03-2013, 22:58
Avatar của nguyentronghai
nguyentronghai nguyentronghai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thanh Khê TC-NA
Nghề nghiệp: học sinh
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 246
Điểm: 46 / 3462
Kinh nghiệm: 84%

Thành viên thứ: 4438
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 139
Đã cảm ơn : 58
Được cảm ơn 92 lần trong 57 bài viết

Lượt xem bài này: 1383
Mặc định Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$



Hãy tích lũy kiến thức khi bạn còn đử sức


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (15-03-2013), Duy Sơn - CHT (24-03-2013)
  #2  
Cũ 15-03-2013, 23:20
Avatar của Hiệp sỹ bóng đêm
Hiệp sỹ bóng đêm Hiệp sỹ bóng đêm đang ẩn
Học
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: nghe nhạc
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 683
Điểm: 343 / 10363
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 809
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.030
Đã cảm ơn : 3.654
Được cảm ơn 1.699 lần trong 639 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi nguyentronghai Xem bài viết
Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

Đóng góp ý tưởng nào các bạn
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left( {\frac{a}{{16}} - \frac{a}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{b}{{16}} - \frac{b}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{c}{{16}} - \frac{c}{{{c^3} + 16}}} \right) \le \frac{1}{{48}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{1}{3}
\end{array}$
Mặt khác
$\begin{array}{l}
b{ \le ^{Cauchy}}\frac{{{b^3} + 8 + 8}}{{12}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} = \frac{{a{b^2}.b}}{{{b^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2}}}{{12}}
\end{array}$
Tương tự ta cũng có được:
$\begin{array}{l}
\frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} \le \frac{{b{c^2}}}{{12}};\\
\frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{c{a^2}}}{{12}}
\end{array}$
Suy ra:
$\frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{12}}$
Do đó, đề chứng minh bài toán đã cho thì việc cần thiết bây giờ là đi chứng minh:
$a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \le 4$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 15-03-2013, 23:31
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 7812
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 985 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thoheo Xem bài viết
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left( {\frac{a}{{16}} - \frac{a}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{b}{{16}} - \frac{b}{{{b^3} + 16}}} \right) + \left( {\frac{c}{{16}} - \frac{c}{{{c^3} + 16}}} \right) \le \frac{1}{{48}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{1}{3}
\end{array}$
Mặt khác
$\begin{array}{l}
b{ \le ^{Cauchy}}\frac{{{b^3} + 8 + 8}}{{12}}\\
\Rightarrow \frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} = \frac{{a{b^2}.b}}{{{b^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2}}}{{12}}
\end{array}$
Tương tự ta cũng có được:
$\begin{array}{l}
\frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} \le \frac{{b{c^2}}}{{12}};\\
\frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{c{a^2}}}{{12}}
\end{array}$
Suy ra:
$\frac{{a{b^3}}}{{{b^3} + 16}} + \frac{{b{c^3}}}{{{c^3} + 16}} + \frac{{c{a^3}}}{{{a^3} + 16}} \le \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{12}}$
Do đó, đề chứng minh bài toán đã cho thì việc cần thiết bây giờ là đi chứng minh:
$a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \le 4$
Việc cần thiết nhất lúc này là chứng minh thoheo sai!!!.
Tại thoheo xác định sai dấu đẳng thức rồi! Phải là $(a,b,c)=(1;2;0)$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Tuấn Anh Eagles 
  #4  
Cũ 16-03-2013, 12:24
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13475
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi nguyentronghai Xem bài viết
Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$

Đóng góp ý tưởng nào các bạn
[TABLE]Giả sử $a=min\left \{ a,b,c \right \}$

Trường hợp 1 $a=0\Rightarrow b+c=3$

Như vậy cần chỉ ra $\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{16}\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow \left ( c-2 \right )^{2}\left ( 3c^{2}+4c+4 \right )\geq 0$ luôn đúng.

Trường hợp 2 $a> 0$ và ta phải chỉ ra $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16}> \frac{1}{6}$. Thật vậy:

$16VT=\sum a-\left ( \frac{ab^{3}}{b^{3}+8+8}+\frac{bc^{3}}{c^{3}+8+8}+ \frac{ca^{3}}{a^{3}+8+8} \right )\geq 3-\sum_{cyc}\frac{ab^{2}}{12}$

$> 3-\frac{\sum_{cyc}ab^{2}+abc}{12}\geq 3-\frac{\frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{2}}{12}=\frac{26}{9}\Rightarrow VT> \frac{13}{72}> \frac{1}{6}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )=\left ( 0,1,2 \right )$ và các hoán vị tương đương của chúng.[/TABLE]
_VMF_


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (31-03-2013), nguyenxuanthai (16-03-2013)
  #5  
Cũ 31-03-2013, 04:29
Avatar của nguyentronghai
nguyentronghai nguyentronghai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thanh Khê TC-NA
Nghề nghiệp: học sinh
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 246
Điểm: 46 / 3462
Kinh nghiệm: 84%

Thành viên thứ: 4438
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 139
Đã cảm ơn : 58
Được cảm ơn 92 lần trong 57 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
[TABLE]Giả sử $a=min\left \{ a,b,c \right \}$

Trường hợp 1 $a=0\Rightarrow b+c=3$

Như vậy cần chỉ ra $\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{16}\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow \left ( c-2 \right )^{2}\left ( 3c^{2}+4c+4 \right )\geq 0$ luôn đúng.

Trường hợp 2 $a> 0$ và ta phải chỉ ra $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16}> \frac{1}{6}$. Thật vậy:

$16VT=\sum a-\left ( \frac{ab^{3}}{b^{3}+8+8}+\frac{bc^{3}}{c^{3}+8+8}+ \frac{ca^{3}}{a^{3}+8+8} \right )\geq 3-\sum_{cyc}\frac{ab^{2}}{12}$

$> 3-\frac{\sum_{cyc}ab^{2}+abc}{12}\geq 3-\frac{\frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{2}}{12}=\frac{26}{9}\Rightarrow VT> \frac{13}{72}> \frac{1}{6}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )=\left ( 0,1,2 \right )$ và các hoán vị tương đương của chúng.[/TABLE]
_VMF_
Có cách mô khác không thầy cách này em chưa học


Hãy tích lũy kiến thức khi bạn còn đử sức


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz \neq 0$ Trường An Bất đẳng thức - Cực trị 4 14-06-2016 14:34
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$fracab3, 16, 3, âm, c3, các, chứng, cho, frac16$, fracbc3, fracca, fracca3, geq, không, mãn, minh, rằng, số, thỏa, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014