Tìm max: $P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{ (y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 19-02-2013, 23:41
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7027
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Lượt xem bài này: 1047
Mặc định Tìm max: $P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{ (y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức
\[P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{( y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\]


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  letrungtin 
Huy Vinh (02-01-2014)
  #2  
Cũ 20-02-2013, 00:29
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13464
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi letrungtin Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức
\[P= \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+ \frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+ \frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\]
P/S: Chém bài này để đi ngủ. Ta cần chứng minh $$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+ \frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+ \frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\le 1$$
Cách 1:
Đầu tiên, không khó khăn để chứng minh được rằng với ba số dương $x,y,z$ ta luôn có \[\dfrac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)\ge (x+y+z)(xy+yz+zx)\]
Theo $Cauchy-Schwarz$ ta lại có, \[\begin{aligned} 2(x+y+z)(xy+yz+zx)&=(x+y+z)[x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)]\\
&\ge (x\sqrt{y+z}+y\sqrt{z+x}+z\sqrt{x+y})^2 \end{aligned}\]
Từ đó suy ra \[x\sqrt{y+z}+y\sqrt{z+x}+z\sqrt{x+y}\le \dfrac{3}{2}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)} \Leftrightarrow \sum \dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\le \dfrac{3}{2}\ (1)\]
Mặt khác ta có $\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}=1- \dfrac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}= 1- \dfrac{1}{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+1}$
Bất đẳng thức ban đầu được viết lại như sau
\[\sum \dfrac{1}{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+1}\ge 2\ (2)\]
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có \[\sum \dfrac{1}{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+1}\ge \dfrac{9}{3+\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}}\ (3)\]
Kết hợp $(1),\ (3)$ ta có điều phải chứng minh! $\max P=1\iff x=y=z>0.$
Cách 2:
Đặt $x= \dfrac{a}{\sqrt{ab+bc+ca}},\ y= \dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca}},\ z= \dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$ với $a,b,c>0.$ Khi đó ta có $ab+bc+ca=1.$
Ta cần chứng minh \[P= \sum \dfrac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\le 1\iff \sum \dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+1}}\le 1\]
Tiếp tục đặt $a=\cot A,\ b=\cot B,\ c=\cot C$ với $A,B,C$ là ba đỉnh tam giác nhọn $ABC.$ BĐT trở thành
\[\dfrac{1}{1+\cos A}+ \dfrac{1}{1+\cos B}+ \dfrac{1}{1+\cos C}\ge 2 \]
BĐT trên luôn đúng theo $Cauchy-Schwarz.$

Cách 3: (hf-boxmath)
[TABLE]Ta có
$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}$=$\frac{\sqrt{x}}{\ sqrt{x}+\sqrt{x+y+z+\frac{yz}{x}}}$$\leq$ $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y+z+2\sqrt{yz}}}$= $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được: $P\leq 1$[/TABLE]
Cách 4: (NguyenHoa451-boxmath)
[TABLE]+Trục căn ở mẫu:$P=\frac{\sum (x\sqrt{(x+y)(x+z)}-{x}^{2})}{xy+yz+zx}\leq \frac{\sum x(\frac{x+y+x+z}{2})-(\sum {x}^{2})}{xy+yz+zx}=1$

+$ {P}_{max}=1 $.Khi $ x=y=z .$[/TABLE]


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
harrypham (20-02-2013), Huy Vinh (02-01-2014), Miền cát trắng (20-02-2013), nhatqny (20-02-2013)
  #3  
Cũ 10-02-2014, 02:00
Avatar của HạHànMinh
HạHànMinh HạHànMinh đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thanh Hóa
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Kiến trúc,sách
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 126
Điểm: 17 / 1417
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 19524
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 52
Đã cảm ơn : 37
Được cảm ơn 24 lần trong 20 bài viết

Mặc định Re: Tìm max: $P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{ (y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

Theo bđt Bunhiacopxki ta có:
$$\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}
Do đó :
$$$\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \sum \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\leq \sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$$$



Hồng trần chỉ có 2 sự để hối tiếc
Một là thứ ao ước suốt đời không có được
Hai là thứ gần có được lại để tuột mất đi...


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  HạHànMinh 
Trọng Nhạc (10-02-2014)
  #4  
Cũ 10-02-2014, 20:50
Avatar của ndkmath1
ndkmath1 ndkmath1 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Hà Nội
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 318
Điểm: 72 / 4496
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 4163
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 216
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 289 lần trong 146 bài viết

Mặc định Re: Tìm max: $P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{ (y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

Nguyên văn bởi letrungtin Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức
\[P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{( y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\]
Thêm cách nữa ( Đây là cách của thầy dạy tóan cấp 3 của em-một cách chỉ dùng $AM-GM$)

Lời giải

Theo $AM-GM$, ta có

$x+\sqrt{(x+y)(x+z)}=x+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2} +\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x(x+y)(x+z)}{4}}$

Do đó $\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\le \frac{x}{3\sqrt[3]{\frac{x(x+y)(x+z)}{4}}}=\frac{2}{3}.\sqrt[3]{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}.\frac{1}{2}}\le \frac{2}{9}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{1}{2 })$


Suy ra $\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\le \frac{2}{9}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{1}{2 })(1)$

Thực hiện 2 đánh giá tương tự ta đuợc

$\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}\le \frac{2}{9}(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{1}{2 })(2)$



$\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\le \frac{2}{9}(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}+\frac{1}{2 })(3)$

Cộng theo vế các BĐT $(1)$,$(2)$ và $(3)$ ta thu được


$P\le 1$

Khi $x=y=z=1$ thì $P=1$

Vậy $maxP=1$.

Ở cách này chúng ta có thể mở rộng bài tóan


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  ndkmath1 
Huy Vinh (11-02-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$pfracxx, fracyy, fraczz, max, sqrt, sqrtx, sqrtz, tìm, xz, y$, yx, zy
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014