Chứng minh rằng: $\frac{1}{C_{2009}^1}+\frac{1}{C_{2009}^2}+...+ \frac{1}{C_{2009}^{2009}} = \frac{1005}{2009}(\frac{1}{C_{2008}^0}+\frac{1}{C_ {2008}^1}+...+\frac{1}{C_{2008}^{2008}})$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải tích luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Tổ hợp - Xác suất giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Nhị thức Newton

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 12-02-2013, 20:02
Avatar của phamtruongdinh1
phamtruongdinh1 phamtruongdinh1 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 25
Điểm: 3 / 357
Kinh nghiệm: 0%

Thành viên thứ: 3595
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 10
Đã cảm ơn : 1
Được cảm ơn 8 lần trong 4 bài viết

Lượt xem bài này: 917
Mặc định Chứng minh rằng: $\frac{1}{C_{2009}^1}+\frac{1}{C_{2009}^2}+...+ \frac{1}{C_{2009}^{2009}} = \frac{1005}{2009}(\frac{1}{C_{2008}^0}+\frac{1}{C_ {2008}^1}+...+\frac{1}{C_{2008}^{2008}})$

Chứng minh rằng: $$\frac{1}{C_{2009}^1}+\frac{1}{C_{2009}^2}+...+ \frac{1}{C_{2009}^{2009}} = \frac{1005}{2009}(\frac{1}{C_{2008}^0}+\frac{1}{C_ {2008}^1}+...+\frac{1}{C_{2008}^{2008}})$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  phamtruongdinh1 
Nắng vàng (13-02-2013)
  #2  
Cũ 10-03-2013, 23:23
Avatar của Mai Tuấn Long
Mai Tuấn Long Mai Tuấn Long đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Mỹ Đức- HN
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 651
Điểm: 307 / 9392
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 2893
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 922
Đã cảm ơn : 795
Được cảm ơn 1.455 lần trong 649 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi phamtruongdinh1 Xem bài viết
Chứng minh rằng: $$\frac{1}{C_{2009}^1}+\frac{1}{C_{2009}^2}+...+ \frac{1}{C_{2009}^{2009}} = \frac{1005}{2009}(\frac{1}{C_{2008}^0}+\frac{1}{C_ {2008}^1}+...+\frac{1}{C_{2008}^{2008}}) , (1)$$
$(1)\Leftrightarrow \frac{2009}{C_{2009}^1}+\frac{2009}{C_{2009}^2}+.. .+ \frac{2009}{C_{2009}^{2009}} = 1005(\frac{1}{C_{2008}^0}+\frac{1}{C_{2008}^1}+... +\frac{1}{C_{2008}^{2008}})$ , (2)

Ta có: $\dfrac{1}{n}C_n^k=\dfrac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}$ với $1\geq k\geq n$ ; $k;n\in Z$

$\Rightarrow \dfrac{n}{C_n^k}=\dfrac{k}{C_{n-1}^{k-1}}$

Khi đó vế trái của (2) được viết lại là:

$VT=\dfrac{1}{C_{2008}^{0}}+\dfrac{2}{C_{2008}^{1} }+...+\dfrac{2009}{C_{2008}^{2008}}$

$\Rightarrow 2VT=(\dfrac{1}{C_{2008}^{0}}+\dfrac{2009}{C_{2008} ^{2008}})$ $+(\dfrac{2}{C_{2008}^{1}}+\dfrac{2008}{C_{2008}^{ 2007}})$ $+...+(\dfrac{2009}{C_{2008}^{2008}}+\dfrac{1}{C_{ 2008}^{0}})$

$=(\dfrac{1}{C_{2008}^{0}}+\dfrac{2009}{C_{2008}^{ 0}})$ $+(\dfrac{2}{C_{2008}^{1}}+\dfrac{2008}{C_{2008}^{ 1}})$ $+...+(\dfrac{2009}{C_{2008}^{2008}}+\dfrac{1}{C_{ 2008}^{2008}})$ (Vì $C_n^k=C_n^{n-k}$ với $0\geq k \geq n$ , $k;n\in Z$)

$=2010(\dfrac{1}{C_{2008}^{0}}+\dfrac{1}{C_{2008}^ {1}}+...+\dfrac{1}{C_{2008}^{2008}})$

$\Rightarrow VT=1005(\dfrac{1}{C_{2008}^{0}}+\dfrac{1}{C_{2008} ^{1}}+...+\dfrac{1}{C_{2008}^{2008}})$ $=VP\Rightarrow đpcm$


Để gió cuốn đi


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 20-04-2013, 14:52
Avatar của nthoangcute
nthoangcute nthoangcute đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Lớp 11 Toán 2
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 424
Điểm: 124 / 6003
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 4234
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 372
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 968 lần trong 274 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi phamtruongdinh1 Xem bài viết
Chứng minh rằng: $$\frac{1}{C_{2009}^1}+\frac{1}{C_{2009}^2}+...+ \frac{1}{C_{2009}^{2009}} = \frac{1005}{2009}(\frac{1}{C_{2008}^0}+\frac{1}{C_ {2008}^1}+...+\frac{1}{C_{2008}^{2008}})$$
Tổng quát:
Đề bài. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n,$ ta đều có $$\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{C_{2n+1}^k}=\frac{n+1} {2n+1}\sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{C_{2n}^k}.$$

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$\sum^{2n}_{k=1} \left( \frac{n+1}{2n+1} \frac{1}{\binom{2n}{k}}- \frac{1}{\binom{2n+1}{k}}\right) =\frac{n}{2n+1}\\
\Leftrightarrow \sum^{2n}_{k=1} \frac{k-n}{(2n+1) \binom{2n}{k}}=\frac{n}{2n+1}\\
\Leftrightarrow \sum^{2n}_{k=1} \frac{k-n}{ \binom{2n}{k}}=n$$
Nhưng ta thấy:
$$\sum^{2n}_{k=1} \frac{k-n}{ \binom{2n}{k}}=\sum^{2n}_{k=1} \Delta \left [ \frac{2n-k+1}{2 \binom{2n}{k}} \right ]= \left.\frac{2n-k+1}{2 \binom{2n}{k}}\right|^{k=0}_{k=2n}=n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=n$$
Suy ra đpcm

_____________________________________

Cách khác:

Lời giải. Với mỗi $0 \le k \le 2n,$ ta có $$C_{2n}^k=\frac{(2n)!}{(2n-k)!\cdot k!}=\frac{k+1}{2n+1}\cdot \frac{(2n+1)!}{\big (2n+1-(k+1)\big)! \cdot (k+1)!} =\frac{k+1}{2n+1}C_{2n+1}^{k+1}.$$ Do đó, tổng ở bên vế phải của hệ thức cần chứng minh có thể được viết lại thành $$(n+1)\sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{(k+1)C_{2n+1}^{k+1} }=(n+1)\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{kC_{2n+1}^k}.$$ Và như vậy, ta chỉ cần chứng minh được $$\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{C_{2n+1}^k} =(n+1)\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{kC_{2n+1}^k}.$$ Đến đây, ta lại có để ý rằng $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{C_{2n+1}^k}&=\sum_{k=1}^ n \frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{n+1}}+\sum _{k=n+2}^{2n+1}\frac{1}{C_{2n+1}^k}\\&=\sum_{k=1}^ n \frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{n+1}}+\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{C_{2n+1}^{2n+2-k}}\\ &=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{2n+2-k}}\right) +\frac{1}{C_{2n+1}^{n+1}}\end{aligned}$$ và $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{kC_{2n+1}^k}&=\sum_{k=1} ^{n}\frac{1}{kC_{2n+1}^k}+\frac{1}{(n+1)C_{2n+1}}+ \sum_{k=n+2}^{2n+1}\frac{1}{kC_{2n+1}^k} \\ &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{kC_{2n+1}^k}+\frac{1}{(n+ 1)C_{2n+1}^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2n+2-k)C_{2n+1}^{2n+2-k}}\\ &=\sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{kC_{2n+1}^k} +\frac{1}{(2n+2-k)C_{2n+1}^{2n+2-k}}\right]+\frac{1}{(n+1)C_{2n+1}^{n+1}}.\end{aligned}$$ Do đó, một lần nữa ta biến đổi được hệ thức cần chứng minh về dạng $$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{2n+2-k}}\right)=(n+1)\sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{kC_{2n+1}^k} +\frac{1}{(2n+2-k)C_{2n+1}^{2n+2-k}}\right],$$ hay $$\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{C_{2n+1}^{2n+2-k}}-\frac{n+1}{(2n+2-k)C_{2n+1}^{2n+2-k}}\right]=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n+1}{kC_{2n+1}^k}-\frac{1}{C_{2n+1}^k}\right).$$ Thu gọn lại, ta được $$(n+1-k)\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n+2-k)C_{2n+1}^{2n+2-k}}=(n+1-k)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{kC_{2n+1}^k}.$$ Đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng vì ta có $$\begin{aligned} (2n+2-k)C_{2n+1}^{2n+2-k}&=(2n+2-k)\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+2-k)!\cdot (k-1)!}=\frac{(2n+1)!}{(2n+1-k)!\cdot (k-1)!}\\ &=k\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+1-k)!\cdot k!}=kC_{2n+1}^k,\quad \forall k \in \{ 1,\, \ldots,\, n\}.\end{aligned}$$ Vậy bài toán được chứng minh xong.


B kp sử dụng CASIO n thi Đại học
*
*
*
*


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
kiennt (26-10-2013), minhlaai? (22-11-2013), N H Tu prince (20-04-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $x^2+y^2+\frac{3}{5}xy>1$ jupiterhn9x Bất đẳng thức - Cực trị 1 22-05-2016 13:41
Chứng minh rằng $\forall a\geq 1$ ta luôn có $\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}}\g eq \frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 20-05-2016 13:44
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$frac1c20091, $frac1c20091, 20081, chứng, frac10052009frac1c20080, frac1c, frac1c20081, frac1c20082008$, frac1c20092, frac1c20092009, minh, rằng
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014