Cho $x,y,z\ge 0$. Chứng minh $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{ 2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 05-02-2013, 03:10
Avatar của Nguyễn Bình
Nguyễn Bình Nguyễn Bình đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Những ngôi sao xa xôi
Sở thích: Math is thinking !
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 251
Điểm: 48 / 3664
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 1938
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 144
Đã cảm ơn : 397
Được cảm ơn 304 lần trong 104 bài viết

Lượt xem bài này: 1379
Mặc định Cho $x,y,z\ge 0$. Chứng minh $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{ 2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

Cho các số thực $x,y,z$ không âm và không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh: $$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt {2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$$
trích đề thi thử ĐH trường THPT Quảng Xương Thanh Hóa


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Sân trường vắng tênh ngày nắng qua mùa thi
Chẳng tìm thấy đâu màu áo trắng hôm nào


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (05-02-2013), Huy Vinh (02-01-2014), nguyenxuanthai (06-02-2013)
  #2  
Cũ 05-02-2013, 09:22
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13463
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Nguyễn Bình Xem bài viết
Cho các số thực $x,y,z$ không âm và không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh: $$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt {2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$$
trích đề thi thử ĐH trường THPT Quảng Xương Thanh Hóa
Phân tích và hướng dẫn giải:


Đến phần quan trọng của bài toán, đó là tìm hướng giải quyết bài toán. Đặc điểm của biểu thức trong BĐT thuần nhất và đối xứng nên có thể có nhiều hướng giải quyết. Điểm rơi của bài toán lại không như mọi người mong muốn, nên có lẽ lối đi bằng con đường hàm số là thông dụng và có cơ sở nhất (hay nói cách khác là đưa về một biến để khảo sát hàm đối với mức độ đề thi ĐH). Vấn đề khó khăn hơn nữa là đưa về biến nào để việc khảo sát hàm được đơn giản hơn. Sau đây, tôi sẽ hỗ trợ các bạn bằng một kinh nghiệm nhỏ của tôi để xác định được biến mà ta cần đặt trong bài toán này:
+ Nếu bài toán này đưa về một biến theo hai biến nào đó là không thể, bởi như vậy chúng ta phải có một phép giả sử $z= \min \{ x,y,z \}$. Mà mức độ thi ĐH tôi nghĩ cũng không đến mức phải giả sử như thế. Hơn thế nữa, với biểu thức trong dấu căn theo chiều nhỏ hơn thì nó đã chặt rồi, nếu đánh giá chặt hơn nữa bài toán sẽ mất đi tính đối xứng và có thể ta sẽ đến ngõ cụt.
+ Dấu căn nó như bức tường địa ngục, ngăn cách sự liên hiệp giữa biểu thức trong căn và ngoài căn. Chính vì lẽ đó, chúng ta hãy cố định biểu thức trong căn. Khi đó, các bạn có thể nghĩ đến các khả năng đặt ẩn phụ như sau: $t=xy+yz+zx$ hoặc $t=x^2+y^2+z^2$ hoặc $t=x+y+z$ bởi mối liên hệ
\[(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\]
Công việc tiếp theo khó khăn hơn đó là tìm một đánh giá nào đó để đưa biểu thức ngoài căn về theo biến $t$ mà ta đã đặt. Haiz.., bầy giờ lại phải đi tìm một đánh giá cho một BĐT phụ nữa???
Để tránh gặp sai lầm, tôi cũng nhắc đến một số đánh giá mà các bạn có thể mắc sai lầm khi nghĩ đến nó. Đó là hai đánh giá thông dụng sau:
\[\begin{aligned}& \dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{y}{z+x}+ \dfrac{z}{x+y}\ge \dfrac{3}{2}\\ & \dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{y}{z+x}+ \dfrac{z}{x+y}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}\end{aligned}\]
Bởi vì hai đánh giá trên đẳng thức không xảy ra tại điểm rơi của bài toán.
Riêng tôi, tôi đã thực hiện như thế này:
Tôi nghĩ rằng, bài toán ba biến số chắc hẳn phải có nét tương đồng khi bài toán chỉ còn hai biến số. Để tìm ra hàm đặc trưng của bài toán, tôi cho một biến bằng $0$, chẳng hạn $z=0$ và quy đồng. Khi đó BĐT trở thành
\[\dfrac{x^2+y^2}{xy}+4\sqrt{ \dfrac{2xy}{x^2+y^2}}\ge 6 \ (1)\]
Bằng phép đặt $t= \sqrt{ \dfrac{2xy}{x^2+y^2}}$, BĐT $(1)$ quy về chứng minh \[\dfrac{2}{t^2}+4t\ge 6\iff 2(t-1)^2(2t+1)\ge 0 \text{ đúng }\forall t> 0.\]
Do đó, hàm đặc trưng ở vế trái BĐT ban đầu mà ta cần đưa về đó là $f(t)= \dfrac{2}{t^2}+4t$. Nếu đối với biểu thức ba biến như trong bài toán ban đầu cũng vậy thì khi tôi đặt $t= \sqrt{ \dfrac{2(xy+yz+xz)}{x^2+y^2+z^2}}$, BĐT phụ mà ta dự đoán ắt hẳn phải là \[\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{y}{z+x}+ \dfrac{z}{x+y}\ge \dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} \ (\star )\]
Tất nhiên, dự đoán của ta cũng có thể không đúng. Nhưng, cũng đừng mất hi vọng, hãy làm đến cùng cho dù kết quả cũng chỉ là con số không. Thật may mắn các bạn ạ! May mắn khi BĐT phụ ấy mà ta dự đoán nó lại đúng và ta có thể chứng minh được nó bằng $Cauchy-Schwarz$. Để sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta cần tạo ra trên tử một lượng $x^2+y^2+z^2$ sau khi sử dụng nó. Thật vậy, ta có
\[\begin{aligned}\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{y}{z+x}+ \dfrac{z}{x+y}&= \dfrac{x^4}{x^3(y+z)}+ \dfrac{y^4}{y^3(z+x)}+ \dfrac{z^4}{z^3(x+y)}\\
&\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y) }\\
&\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^3(y+z)+xyz(x+y+z)}\\
&= \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}\\
&= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\end{aligned}\]
BĐT $(\star )$ đã được chứng minh hoàn toàn. Và thế là dự đoán của chúng ta đúng và hướng đi của lời giải bài toán xem như đã thành công.
Cuối cùng, bài toán sẽ hoàn hảo nếu ta chứng minh được rằng
\[\begin{aligned}&\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+ 4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\ge 6\\
\iff &\dfrac{2}{t^2}+ 4t\ge 6\\
\iff &(t-1)^2(4t+2)\ge 0 \text{ đúng với }t= \sqrt{ \dfrac{2(xy+yz+xz)}{x^2+y^2+z^2}}> 0. \end{aligned}\]

Thân ái!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 13 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (08-02-2013), hbtoanag (05-02-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (05-02-2013), Huy Vinh (02-01-2014), kienqb (05-02-2013), lachong_95 (09-06-2013), Lạnh Như Băng (05-02-2013), Miền cát trắng (16-02-2013), neymar11 (10-02-2013), Nguyễn Bình (05-02-2013), nguyenxuanthai (06-02-2013), t24495 (07-02-2013), tieumai03 (05-02-2013)
  #3  
Cũ 07-02-2013, 16:43
Avatar của Sangham_BM
Sangham_BM Sangham_BM đang ẩn
Thành viên Vip
Đến từ: Y.Thành, Nghệ An
Nghề nghiệp: K sĩ
Sở thích: Calisthenics
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 212
Điểm: 36 / 3214
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 825
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 110
Đã cảm ơn : 23
Được cảm ơn 274 lần trong 81 bài viết

Mặc định

Cách của thầy Mẫn là cách hay nhất rồi nhưng đoạn dùng $Cauchy-Schwarz$ dễ bị mất điểm.




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (02-01-2014), Miền cát trắng (16-02-2013), t24495 (07-02-2013)
  #4  
Cũ 07-02-2013, 17:25
Avatar của t24495
t24495 t24495 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 197
Điểm: 32 / 2901
Kinh nghiệm: 89%

Thành viên thứ: 1520
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 98
Đã cảm ơn : 99
Được cảm ơn 68 lần trong 40 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Tất nhiên, dự đoán của ta cũng có thể không đúng. Nhưng, cũng đừng mất hi vọng, hãy làm đến cùng cho dù kết quả cũng chỉ là con số không. Thật may mắn các bạn ạ! May mắn khi BĐT phụ ấy mà ta dự đoán nó lại đúng và ta có thể chứng minh được nó bằng $Cauchy-Schwarz$. Để sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta cần tạo ra trên tử một lượng $x^2+y^2+z^2$ sau khi sử dụng nó. Thật vậy, ta có
\[\begin{aligned}\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{y}{z+x}+ \dfrac{z}{x+y}&= \dfrac{x^4}{x^3(y+z)}+ \dfrac{y^4}{y^3(z+x)}+ \dfrac{z^4}{z^3(x+y)}\\
&\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y) }\\
&\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^3(y+z)+xyz(x+y+z)}\\
&= \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}\\
&= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\end{aligned}\]
BĐT $(\star )$ đã được chứng minh hoàn toàn.
Thầy ơi đoạn này hình như dấu = lại xảy ra khi $x=y=z$ thì phải, trái với điểm rơi từ đầu?
$\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y) }
\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^3(y+z)+xyz(x+y+z)}$
Thầy làm rõ giúp em đoạn này với, em không hiểu tại sao lại ra cái lượng $xyz(x+y+z)$ phía dưới mẫu. Cảm ơn thầy ạ.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 07-02-2013, 17:40
Avatar của Mạnh
Mạnh Mạnh đang ẩn
Khang Hi Vi Hành
Đến từ: CUNG TRĂNG
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 348
Điểm: 85 / 5183
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 1144
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 255
Đã cảm ơn : 548
Được cảm ơn 538 lần trong 187 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi t24495 Xem bài viết
Thầy ơi đoạn này hình như dấu = lại xảy ra khi $x=y=z$ thì phải, trái với điểm rơi từ đầu?

CM:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}\left(* \right)$
Nhân 2 vế của $\left(* \right)$ với $xy+yz+zx$ ta được
$\left(xy+yz+zx \right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{ x+y} \right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$\Leftrightarrow xyz\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} \right)+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} $
$\Rightarrow xyz\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} \right) \geq0$
$\Rightarrow $Luôn đúng
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow $ Có 1 số bằng $0$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (07-02-2013), Huy Vinh (02-01-2014), t24495 (07-02-2013)
  #6  
Cũ 08-02-2013, 14:48
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 7888
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 812 lần trong 360 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi t24495 Xem bài viết
Thầy làm rõ giúp em đoạn này với, em không hiểu tại sao lại ra cái lượng $xyz(x+y+z)$ phía dưới mẫu. Cảm ơn thầy ạ.
Thêm lượng đó để tạo ra nhân tử chung đó bạn, đồng thời vẫn đảm bảo dấu "=" xảy ra tại điểm rơi dự đoán :)


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (02-01-2014), t24495 (10-02-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$fracxy, $x, 0$, 2sqrtfracxy, 4sqrt, 6$, chứng, cho, fracyz, fraczx, minh, xzx2, y2, yz, z2geq, zge
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014