$\frac{{{a^4}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 02-02-2013, 00:30
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 7908
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 812 lần trong 360 bài viết

Lượt xem bài này: 1059
Mặc định $\frac{{{a^4}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^4}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (03-02-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (03-02-2013)
  #2  
Cũ 03-02-2013, 11:23
Avatar của Hiệp sỹ bóng đêm
Hiệp sỹ bóng đêm Hiệp sỹ bóng đêm đang ẩn
Học
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: nghe nhạc
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 683
Điểm: 343 / 10379
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 809
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.030
Đã cảm ơn : 3.654
Được cảm ơn 1.699 lần trong 639 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^4}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$$
Ta có:
$\begin{array}{l}
BDT \Leftrightarrow \frac{{{a^4}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^2} + ac + {a^2}}} \ge \frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) + 3abc}}{{a + b + c}}\\
\Leftrightarrow \sum \left( {\frac{{{a^4}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + ab - {a^2}} \right) \ge \frac{{3abc}}{{a + b + c}}\\
\Leftrightarrow \sum \frac{{a{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{3abc}}{{a + b + c}}(1)
\end{array}$
Công việc còn lại của chúng ta là đi chứng minh bất đẳng thức (1) là OK
Thật vậy, ta có
$\begin{array}{l}
\left( {\sum \frac{{a{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \right){\left[ {\sum c\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)} \right]^{Cauchy - Sch{\rm{w}}arz}} \ge {\left( {\sum \sqrt {a{b^3}c} } \right)^2} = abc{\left( {a + b + c} \right)^2}\\
\Rightarrow \sum \frac{{a{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{abc{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum c\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} = \frac{{abc\left( {a + b + c} \right)}}{{ab + bc + ca}}
\end{array}$
Từ đây để chứng minh (1) ta cần chứng minh:
$\frac{{abc\left( {a + b + c} \right)}}{{ab + bc + ca}} \ge \frac{{3abc}}{{a + b + c}}$
Bất đẳng thức này tương đương với:
${\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)$
$ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0$
$ \to $ Luôn đúng
Suy ra
$\sum \frac{{a{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{3abc}}{{a + b + c}}$
Hay (1) được chứng minh
Vậy bài toán đã được chứng minh
(Dấu $'='$ xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$ )



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (03-02-2013), Neverland (02-05-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $fraca4a2, a2, ab, acc4c2, b2, b3, bc, c$, c&gt0$, c>0$, c2, c3a, ca, chứng, cho, fr, fraca3, fracb4b2, fracc4c2, ge, geq, minh, rằng
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014