Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng : $\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1 }{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 31-01-2013, 18:06
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 9231
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 813 lần trong 360 bài viết

Lượt xem bài này: 1801
Mặc định Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng : $\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1 }{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$

Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{ 1}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$$


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 31-01-2013, 18:31
Avatar của hansongkyung
hansongkyung hansongkyung đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: THPT Mai Sơn, Sơn La (Diễn đàn MathScope)
Nghề nghiệp: Học Sinh
Sở thích: Làm Toán, đọc thơ
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 37
Điểm: 4 / 628
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 3809
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 14
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 13 lần trong 8 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{ 1}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$$
Sử dụng bđt AM-GM ta có:
$\frac{1}{a^2+ab+b^2} = \frac{ab+bc+ca}{(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)} \ge \frac{4(ab+bc+ca)}{(a^2+ab+b^2+ab+bc+ca)^2} = \frac{4(ab+bc+ca)}{((a+b)^2+c(a+b))^2} = \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2}$
Từ đó ta có $\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1 }{a^2+ab+b^2} \ge \sum \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2}$.
Giờ ta chỉ cần chứng minh
$\sum \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2} \ge \frac{9}{(a+b+c)^2}$ là xong. Tương đương với $\sum \frac{1}{(a+b)^2} \ge \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$ đây là 1 bđt quen thuộc.


Trương Mạnh Hùng, lớp 9A, THCS Chất Lượng Cao Sơn La


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hansongkyung 
ma29 (09-12-2013)
  #3  
Cũ 31-01-2013, 18:33
Avatar của hthtb22
hthtb22 hthtb22 đang ẩn
$\mathscr{H.T.H}$
Đến từ: THPT Chuyên THái Bình
Nghề nghiệp: H/S
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 313
Điểm: 70 / 5308
Kinh nghiệm: 52%

Thành viên thứ: 2345
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 210
Đã cảm ơn : 138
Được cảm ơn 452 lần trong 150 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi giangbeopzo Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{ 1}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$$
Nhân cả hai vế với $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$. Ta có:
Bất đẳng thức tương đương với:
$3+\sum \dfrac{a(a+b+c)}{b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow 3+(a+b+c)\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$

Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy- Swcharz$ ta có:
$\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\dfrac{a+b+c} {ab+bc+ca}$
Như vậy ta cần chứng minh:
$3+\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} -6 \ge (\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}-9)$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} +\dfrac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \ge 6$
Luôn đúng theo $AM-GM$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hthtb22 
ma29 (09-12-2013)
  #4  
Cũ 03-02-2013, 22:18
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 15677
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.191 lần trong 1.384 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tonggianghg Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{ 1}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$$
Thêm một cách cổ điển cho phong phú:
Giả sử $a\ge b\ge c>0.$ Khi đó
\[\begin{aligned}BĐT\iff &\sum \dfrac{b^2+bc+c^2+(a-b)(a-c)+3a(b+c)}{b^2+bc+c^2}\ge 9\\
\iff &\sum \dfrac{(a-b)(a-c)}{b^2+bc+c^2}+3\sum \dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}\ge 6\\
\iff &\dfrac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(b^2+bc+c^2)(a^2+ac+c^2)}+ \dfrac{(c-a)(c-b)}{a^2+ab+b^2}+3\sum \dfrac{bc(b-c)^2}{(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)}\ge 0\end{aligned}\]
Hiển nhiên đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $frac1b2, &gt0$, >0$, a2, ab, b2, bc, c2, c2$, ca, chứng, cho, frac1, frac1a2, frac1c2, frac9a, geq, minh, rằng
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên