Chứng minh rằng $\frac{1} {x(y+z)}+\frac{1} {y(z+x)}+\frac{1} {z(x+y)}>\frac{5} {x+y+z}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 31-01-2013, 17:42
Avatar của tieumai03
tieumai03 tieumai03 đang ẩn
Very Important Person
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 135
Điểm: 19 / 2008
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 1202
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 57
Đã cảm ơn : 80
Được cảm ơn 95 lần trong 40 bài viết

Lượt xem bài này: 1210
Mặc định Chứng minh rằng $\frac{1} {x(y+z)}+\frac{1} {y(z+x)}+\frac{1} {z(x+y)}>\frac{5} {x+y+z}$

Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=4xyz$. Chứng minh rằng
$$\frac{1} {x(y+z)}+\frac{1} {y(z+x)}+\frac{1} {z(x+y)}>\frac{5} {x+y+z}$$

Đề thi thử trường chuyên KHTN năm 2013 đợt 2.


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
hthtb22 (31-01-2013), nhatqny (31-01-2013)
  #2  
Cũ 01-02-2013, 09:53
Avatar của kienqb
kienqb kienqb đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hà Nội
Sở thích: Toán học- Chém gió
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 185
Điểm: 29 / 2798
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 824
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 89
Đã cảm ơn : 186
Được cảm ơn 408 lần trong 83 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tieumai03 Xem bài viết
Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=4xyz$. Chứng minh rằng
$$\frac{1} {x(y+z)}+\frac{1} {y(z+x)}+\frac{1} {z(x+y)}>\frac{5} {x+y+z}$$

Đề thi thử trường chuyên KHTN năm 2013 đợt 2.
Ta viết lại giả thiết thành:$\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{4yz}+\dfrac{1}{4z x}=1$. Đặt $x=\dfrac{1}{2x}; \ y=\dfrac{1}{2y}, \ z=\dfrac{1}{2z}$. Ta có $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c +a}>\dfrac{5}{2} \ (1)$$
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: $a\geq b\geq c$.
Ta thấy rằng:$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}=\dfrac{b+c} {(a+b)(b+c)} + \dfrac{b+c}{(a+c)(b+c)}=(b+c)\left(\dfrac{1}{1+b^2 }+\dfrac{1}{1+c^2}\right)$$
Nhưng ta có bổ đề sau:$$\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq 1+\dfrac{1}{(b+c)^2+1} \ (\star)$$
Thật vậy quy đồng và thu gọn ta được$ \ (\star)\Leftrightarrow \dfrac{bc[2-2bc-bc(b+c)^2]}{(b^2+1)(c^2+1)[(b+c)^2+1]}\geq 0$
Nhưng $2-2bc-bc(b+c)^2=2a(b+c)-bc(b+c)^2=(b+c)[2a-bc(b+c)]\geq (b+c)[2a-a^2(b+c)]=a(b+c)[2-ab-ac]\geq 0$
Áp dụng bổ đề trên ta thu được $VT (1)\geq (b+c)+\dfrac{b+c}{(b+c)^2+1} +\dfrac{1}{b+c}= (b+c)+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+c+\frac{1}{b+c}} \ (2)$

Đặt $t=b+c+\dfrac{1}{b+c}\Rightarrow t\geq 2$. Khi đó $VT (2)=t+\dfrac{1}{t}$
Xét hàm số $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$ với $t\geq 2$ ta có $f'(t)=1-\dfrac{1}{t^2}\geq 0$ với mọi $t\geq 2$. Từ đó suy ra $f(t)\geq f(2)=\dfrac{5}{2}$
Với giả sử $a\geq b\geq c$ thì khi $a=b=1, c=0$ thì $VT (1)=\dfrac{5}{2}$. Nhưng do giả thiết $a,b,c>0$ nên dấu bằng không thể xảy ra.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (01-02-2013), Hà Nguyễn (19-03-2014), Inspectorgadget (01-02-2013), Lê Đình Mẫn (01-02-2013), vinh1b (01-02-2013)
  #3  
Cũ 01-02-2013, 22:44
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 4959
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi tieumai03 Xem bài viết
Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=4xyz$. Chứng minh rằng
$$\frac{1} {x(y+z)}+\frac{1} {y(z+x)}+\frac{1} {z(x+y)}>\frac{5} {x+y+z}$$

Đề thi thử trường chuyên KHTN năm 2013 đợt 2.
Cách khác ý tưởng khúc đầu giống bài trên
Giả thiết viết lại thành $\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xz}+\frac{1}{4yz}=1$.

Đặt $a=\frac{1}{2x};b=\frac{1}{2y};c=\frac{1}{2z}$

Ta có $a,b,c>0$ và $ab+bc+ac=1$

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{ 5}{2}$$

$$\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )^2$$
$$=\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c +a)^2}+\frac{2}{(a+b)(a+c)}+\frac{2}{(b+c)(b+a)}+\ frac{2}{(c+b)(c+a)}$$
Áp dụng BĐT Iran 1996

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa . Chứng minh rằng:
$(xy+xz+yz)[\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x) ^2}]\geq \frac{9}{4}.$
Chứng minh: Không mất tính tổng quát giả sử $xy+xz+yz=1$. Đặt $(x;y;z)=(tan\frac{\alpha}{2};tan\frac{\beta}{2};t an\frac{\gamma }{2})$ với $\alpha;\beta; \gamma$ là ba góc của một tam giác.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \[
\frac{1}{{(\tan \frac{\alpha }{2} + \tan \frac{\beta }{2})^2 }} + \frac{1}{{(\tan \frac{\alpha }{2} + \tan \frac{\gamma }{2})^2 }} + \frac{1}{{(\tan \frac{\gamma }{2} + \tan \frac{\beta }{2})^2 }} \ge \frac{9}{4}
\]
Hay $$\frac{cos^2\frac{\alpha}{2}.cos^2\frac{\beta}{2} }{cos^2\frac{\gamma}{2}}+\frac{cos^2\frac{\alpha}{ 2}.cos^2\frac{\gamma}{2}}{cos^2\frac{\beta}{2}}+\f rac{cos^2\frac{\beta}{2}.cos^2\frac{\gamma}{2}}{co s^2\frac{\alpha}{2}}\geq \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Đặt $cyc(A = \frac{{\pi - \alpha }}{2})$ với $A,B,C$ là ba góc của một tam giác. Ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$( \frac{sinAsinB}{sinC})^2+(\frac{sinAsinC}{sinB})^2 +(\frac{sinCsinB}{sinA})^2\geq \frac{9}{4}$ với $\frac{\pi}{2}>A\ge \frac{\pi}{3}$
Đặt $$f^2(A,B,C)\geq \frac {9}{4}+2(sin^2A+sin^2B+sin^2C).$$
Với $$f(A,B,C)=\frac{sinAsinB}{sinC}+\frac{sinBsinC}{s inA}+\frac{sinAsinC}{sinB}$$
Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
$$sin^2B+sin^2C\leq 2sin^2\frac{B+C}{2}=2cos^2\frac{A}{2} (2)$$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $sinBsinC\leq cos^2\frac {A}{2} (3)$

Mặt khác: $$d=f(A,B,C)-f(A,\frac{B+C}{2};\frac{B+C}{2})=\frac{sin^2\frac{ B-C}{2}}{sinA}(\frac{4sin^2Asin^2\frac{A}{2}}{sinBsi nC}-\frac{1}{2})$$
Do $\frac{\pi}{2}>A\geq \frac{\pi}{3}$ nên (3) trở thành $$\frac{4sin^2A sin^2\frac{A}{2}}{sinBsinC}\geq 16sin^4\frac{A}{2}\geq 1$$
Do $d\geq 0$ nên ta cần chứng minh $$f^2(A;\frac{B+C}{2};\frac{B+C}{2})\geq \frac{9}{4}+2(sin^2A+sin^2B+sin^2C)$$
Từ (2) ta có $$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq sin^2A+2cos^2\frac {A}{2}$$

Ta cần chứng minh $$f^2(A;\frac{B+C}{2};\frac{B+C}{2})\geq \frac{9}{4}+2(sin^2A+2cos^2\frac{A}{2})\Leftrighta rrow (2sinA+\frac{cos^4\frac{A}{2}}{sinA})^2\geq \frac{9}{4}+2(sin^2A+2cos^2\frac{A}{2})$$
Hay $cos A(cosA+1)(2cosA-1)^2\geq 0$ điều này đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng. $\square$

Áp dụng BĐT trên ta có $$\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \right )^2\ge \frac{9}{4(ab+bc+ac)}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c +a)}=\frac{9}{4}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $

Lại có

$\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(a+b+c)(ab+bc +ac)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a )}\ge 1$

Nên hiển nhiên $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} > \frac{5}{2}$

Sao lỗi latex hoài thế.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Inspectorgadget 
Hà Nguyễn (19-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $\forall a\geq 1$ ta luôn có $\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}}\g eq \frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 20-05-2016 13:44
Bài toán khó: Cho tam giác ABC co hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng PH vuông góc với AM. dobinh1111 Hình học phẳng 0 03-05-2016 12:41
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$frac1, chứng, frac1, minh, rằng, xy, y&gtfrac5, y>frac5, yz, z$, zx
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014