Cho các số thực $a,b,c\in \left[1;2 \right]$. Chứng minh bất đẳng thức sau : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 29-01-2013, 19:00
Avatar của Mạnh
Mạnh Mạnh đang ẩn
Khang Hi Vi Hành
Đến từ: CUNG TRĂNG
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 348
Điểm: 85 / 5200
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 1144
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 255
Đã cảm ơn : 548
Được cảm ơn 538 lần trong 187 bài viết

Lượt xem bài này: 1565
Mặc định Cho các số thực $a,b,c\in \left[1;2 \right]$. Chứng minh bất đẳng thức sau : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

Cho các số thực $a,b,c\in \left[1;2 \right]$. Chứng minh bất đẳng thức sau :
$$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (02-02-2013), Lê Đình Mẫn (29-01-2013), Nguyễn Bình (01-02-2013)
  #2  
Cũ 02-02-2013, 11:04
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13506
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Nguyễn Giang Mạnh Xem bài viết
Cho các số thực $a,b,c\in \left[1;2 \right]$. Chứng minh bất đẳng thức sau :
$$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$$
Cách 1: (Lê Đình Mẫn)
Vì $a\in[1;2]$ nên ta có hệ quả: \[(a-1)(a-2)(a+3)\le 0 \Leftrightarrow a^3\le 7a-6\]
Tuơng tự cho hai biến $b,c.$ Suy ra $$a^3+b^3+c^3\le 7(a+b+c)-18$$
Do đó ta cần chứng minh: $$5abc-7(a+b+c)+18\ge 0 \ ( * )$$
Hơn nữa ta có $(b-1)(c-1)\ge 0\Rightarrow bc\ge b+c-1.$ Thay vào $( * )$ ta có: \[(b+c)(5a-7)-12a+18\ge 0 \ ( ** )\]
Như vậy bài toán quy về chứng minh $( ** )$. Thật vậy ta có (với gs $a=\max \{ a,b,c \}$)
(+) Nếu $2\ge a\ge \dfrac{7}{5}$ thì \[VT_{( ** )}\ge 2(5a-7)-12a+18=4-2a\ge 4-2.2=0\]
(+) Nếu $1\le a< \dfrac{7}{5}$ thì \[VT_{( ** )}\ge 2a(5a-7)-12a+18=10a^2-26a+18>0\]
Vậy, bài toán đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra tại các giao hoán của bộ $3$ số $(2;1;1)$.

Cách 2: (Phudinhgioihan)
Xét $f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3-5abc \; , a,b,c \in [1;2]$

Giả sử $a \le b \le c $

Ta có : $ f_a^{'}(a;b;c)=3a^2-5bc <0 $

=> $f(a;b;c) \le f(1;b;c) $

$f_b^{'}(1;b;c)=3b^2-5c $

$f_b^{'}(1;b;c)=0 $ <=> $b= \sqrt{\frac{5c}{3}} $

Ta thấy $\sqrt{\frac{5c}{3}} \in (1;2) \;\forall c \in [1;2]$
và $f'_b(1;b;c) $ đổi dấu từ - sang + khi qua $\sqrt{\frac{5c}{3}} $ nên

$ f(1;b;c) \le Max \{f(1;1;c), f(1;2;2) \} $

$ \le Max \{ 2+c^3-5c;-3 \} =0$

Vậy có đpcm. Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1 và 1 số bằng 2.

Cách 3: (Sách Phạm Kim Hùng)
Giả sử $a\geq b\geq c$. Vì $a,b,c$ thuộc $[ 1; 2 ]$ nên ta có
$a^3+2\leq 5a\Leftrightarrow (a-2)(a^2+2a-1)\leq 0$ $(1)$
$5a+b^3\leq 5ab+1\Leftrightarrow(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq 0$ $(2)$
$5ab+c^3\leq 5abc+1\Leftrightarrow(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leq 0$ $(3)$
Các khẳng định trên hiển nhiên đúng vì:
$b^2+b+1 \leq a^2+a+1\leq 2a+a+1\leq 5a$
$c^2+c+1\leq a^2+a+1\leq 5a\leq 5ab$


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (02-02-2013), hbtoanag (02-02-2013), hiếuctb (26-06-2013), Mai Tuấn Long (02-02-2013), Mạnh (02-02-2013)
  #3  
Cũ 02-02-2013, 14:11
Avatar của hbtoanag
hbtoanag hbtoanag đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Long Kiến, An Giang
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 16 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 376
Điểm: 98 / 5484
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 2166
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 295
Đã cảm ơn : 649
Được cảm ơn 810 lần trong 261 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cách 1: (Lê Đình Mẫn)
Vì $a\in[1;2]$ nên ta có hệ quả: \[(a-1)(a-2)(a+3)\le 0 \Leftrightarrow a^3\le 7a-6\]
Tuơng tự cho hai biến $b,c.$ Suy ra $$a^3+b^3+c^3\le 7(a+b+c)-18$$
Do đó ta cần chứng minh: $$5abc-7(a+b+c)+18\ge 0 \ ( * )$$
Hơn nữa ta có $(b-1)(c-1)\ge 0\Rightarrow bc\ge b+c-1.$ Thay vào $( * )$ ta có: \[(b+c)(5a-7)-12a+18\ge 0 \ ( ** )\]
Như vậy bài toán quy về chứng minh $( ** )$. Thật vậy ta có (với gs $a=\max \{ a,b,c \}$)
(+) Nếu $2\ge a\ge \dfrac{7}{5}$ thì \[VT_{( ** )}\ge 2(5a-7)-12a+18=4-2a\ge 4-2.2=0\]
(+) Nếu $1\le a< \dfrac{7}{5}$ thì \[VT_{( ** )}\ge 2a(5a-7)-12a+18=10a^2-26a+18>0\]
Vậy, bài toán đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra tại các giao hoán của bộ $3$ số $(2;1;1)$.

Cách 2: (Phudinhgioihan)
Xét $f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3-5abc \; , a,b,c \in [1;2]$

Giả sử $a \le b \le c $

Ta có : $ f_a^{'}(a;b;c)=3a^2-5bc <0 $

=> $f(a;b;c) \le f(1;b;c) $

$f_b^{'}(1;b;c)=3b^2-5c $

$f_b^{'}(1;b;c)=0 $ <=> $b= \sqrt{\frac{5c}{3}} $

Ta thấy $\sqrt{\frac{5c}{3}} \in (1;2) \;\forall c \in [1;2]$
và $f'_b(1;b;c) $ đổi dấu từ - sang + khi qua $\sqrt{\frac{5c}{3}} $ nên

$ f(1;b;c) \le Max \{f(1;1;c), f(1;2;2) \} $

$ \le Max \{ 2+c^3-5c;-3 \} =0$

Vậy có đpcm. Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1 và 1 số bằng 2.

Cách 3: (Sách Phạm Kim Hùng)
Giả sử $a\geq b\geq c$. Vì $a,b,c$ thuộc $[ 1; 2 ]$ nên ta có
$a^3+2\leq 5a\Leftrightarrow (a-2)(a^2+2a-1)\leq 0$ $(1)$
$5a+b^3\leq 5ab+1\Leftrightarrow(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq 0$ $(2)$
$5ab+c^3\leq 5abc+1\Leftrightarrow(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leq 0$ $(3)$
Các khẳng định trên hiển nhiên đúng vì:
$b^2+b+1 \leq a^2+a+1\leq 2a+a+1\leq 5a$
$c^2+c+1\leq a^2+a+1\leq 5a\leq 5ab$
Cách 4

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$5abc-({{a}^{3}}+{{b}^{3}})-{{c}^{3}}\ge 0$

$\Leftrightarrow 5abc-(a+b)\left[ {{(a+b)}^{2}}-3ab \right]-{{c}^{3}}\ge 0$

$\Leftrightarrow \left[ 5c+3(a+b) \right]ab-{{(a+b)}^{3}}-{{c}^{3}}\ge 0$

Đặt $t=ab\in \left[ 1;4 \right]$ thì thấy

$P(t)=\left[ 5c+3(a+b) \right]t-{{(a+b)}^{3}}-{{c}^{3}}$ là hàm đồng biến nên $P(t)\ge P(1)=5c+3(a+b)-{{(a+b)}^{3}}-{{c}^{3}}$.

Do $a,b\in \left[ 1;2 \right]$ nên $ab=1\Leftrightarrow a=b=1$.

Như vậy $P(t)\ge P(1)=-{{c}^{3}}+5c-2=Q(c),c\in \left[ 1;2 \right]$. Cần chứng minh $Q(c)\ge 0$.

Ta có ${Q}'(c)=-3{{c}^{2}}+5=0\Leftrightarrow c=\sqrt{\frac{5}{3}}$.

Khi đó từ $Q(1)=2$, $Q(2)=0$,$Q\left( \sqrt{\frac{5}{3}} \right)=\frac{-18+10\sqrt{15}}{9}>0$, suy ra $Q(c)\ge Q(2)=0$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (02-02-2013), Lê Đình Mẫn (02-02-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
5abc$, a^3 b^3 c^3, a^3 b^3 c^3 5abc, a^3 b^3 c^3\leq 5abc, đẳng, bất, c3leq, chứng, chung minh a^3 b^3 c^3, left12, right$, tìm min a^2/((b c)^2 5bc) b^2/((c a)^2 5ac), thức, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014