Cho số thực dương $a$ và số thực $b$ thỏa mãn điều kiện:$4a^2-b^2=1$. Chứng minh rằng $8a^3+b^3\geq 3a^2b+\sqrt{3}ab+a$. - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 23-01-2013, 00:03
Avatar của kienqb
kienqb kienqb đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hà Nội
Sở thích: Toán học- Chém gió
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 185
Điểm: 29 / 2807
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 824
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 89
Đã cảm ơn : 186
Được cảm ơn 408 lần trong 83 bài viết

Lượt xem bài này: 1141
Mặc định Cho số thực dương $a$ và số thực $b$ thỏa mãn điều kiện:$4a^2-b^2=1$. Chứng minh rằng $8a^3+b^3\geq 3a^2b+\sqrt{3}ab+a$.

Cho số thực dương $a$ và số thực $b$ thỏa mãn điều kiện:$4a^2-b^2=1$. Chứng minh rằng $$8a^3+b^3\geq 3a^2b+\sqrt{3}ab+a$$.
Trích đề thi thử lần 1 khối A năm 2013 Trường THPT Lương Thế Vinh- Hà Nội


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (23-01-2013), Lê Đình Mẫn (23-01-2013)
  #2  
Cũ 23-01-2013, 11:08
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13503
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi kienqb Xem bài viết
Cho số thực dương $a$ và số thực $b$ thỏa mãn điều kiện:$4a^2-b^2=1$. Chứng minh rằng $$8a^3+b^3\geq 3a^2b+\sqrt{3}ab+a$$.
Trích đề thi thử lần 1 khối A năm 2013 Trường THPT Lương Thế Vinh- Hà Nội
Suy luận và lời giải:

Khởi đầu một bài toán BĐT, chúng ta nên quan sát bài toán một lát và dự đoán dấu đẳng thức nếu có thể. Đối với bài này thì công việc này khá đơn giản vì ta chỉ cần giải hệ PT sau:
\[\begin{cases}8a^3+b^3= 3a^2b+\sqrt{3}ab+a\\ 4a^2-b^2=1\end{cases}\iff \begin{cases}a= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ b= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{cases}\]
Tôi thì không thích những bài toán có hệ số của các ẩn lệch nhau, vì thế tôi đã đặt như sau $x=2a,y=b$. Khi đó bài toán quy về chứng minh
\[\begin{cases}4x^3+4y^3\ge 3x^2y+2\sqrt{3}xy+2x\\ x^2=y^2+1\end{cases}\]
Tất nhiên dấu đẳng thức lúc này là $x= \dfrac{2}{\sqrt{3}},\ y= \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Sẽ khá khó khăn và phức tạp nếu thực hiện phép thế để đưa về hàm một biến. Đến đây, chúng ta để ý rằng với những con số khi dấu bằng đạt được có giúp ích gì cho sự liên tưởng (ý tưởng) của chúng ta không?
Câu trả lời là có đấy các bạn. Hơn thế nữa, nếu nhạy cảm hơn một chút, các bạn sẽ nhận ra công thức này $x^2=y^2+1$ xuất phát từ công thức nào trong lượng giác.
Đó chính là $\dfrac{1}{\cos ^2\alpha}=1+\tan ^2\alpha$ hay $\dfrac{1}{\sin ^2\alpha}=1+\cot ^2\alpha$. Dấu đẳng thức mà ta dự đoán ở trên ứng với $\alpha = \dfrac{\pi}{6}.$ Bây giờ chúng ta hãy cùng thử đưa bài toán đại số về bài toán biến đổi lượng giác nhé!
Đặt $x= \dfrac{1}{\cos \alpha},\ y=\tan \alpha$. Do $x>0\Rightarrow \alpha \in \left( - \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right).$ Lúc này BĐT tương đương với
\[\dfrac{4}{\cos ^3\alpha }+4\tan ^3\alpha \ge \dfrac{3}{\cos ^2\alpha}\tan \alpha +2\sqrt{3}\dfrac{\tan\alpha}{\cos\alpha}+ \dfrac{2}{\cos\alpha}\\
4+4\sin ^3\alpha -3\sin\alpha -2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha +2\cos ^2\alpha \ge 0 \quad (1)\]
Bây giờ, bài toán không cần đến một điều kiện nào của giả thiết nữa. Theo hướng suy nghĩ tự nhiên và có lẽ là đơn giản nhất, chúng ta hãy tìm cách phân tích vế trái $(1)$ thành tổng các bình phương (nhưng phải đảm bảo dấu bằng cùng xảy ra tại một góc $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$). Khi ấy, $\sin\alpha = \dfrac{1}{2},\ \cos\alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Nhiệm cụ của chúng ta là tìm cách đưa cái $- 2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$ vào trong một biểu thức bình phương. Để ý thêm một điều là hàm sin có chứa bậc ba nên ta sẽ nghĩ tới hướng phân tích làm sao để có các bình phương chứa một trong các biểu thức sau:
\[(\cos\alpha -\sqrt{3}\sin\alpha )^2,\qquad \left(\sin\alpha - \dfrac{1}{2}\right)^2\]
Tức là ta cần phải biết các thao tác làm ở đây là thêm cái gì và bớt cái gì.
Đã gần đến đích, cho dù phía trước là gì đi nữa... Đó chính là niềm vui khi ta hoàn thành bài toán một cách trọn vẹn! Thật vậy
\[(1)\iff (\sin\alpha +1)(2\sin\alpha -1)^2+ (\cos\alpha -\sqrt{3}\sin\alpha )^2\ge 0\]
hiển nhiên đúng!
Vậy, bài toán đã kết thúc phần chứng minh.
P/S: Ý tưởng của tôi xuất phát từ khi giải hệ PT ban đầu để tìm dấu bằng. Đó là một hệ khá khó.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (13-06-2013), Trần Quốc Luật (23-01-2013), Lưỡi Cưa (23-01-2013), Mạnh (23-01-2013), nhatqny (23-01-2013), noaht (24-01-2013), quynhanhbaby (02-03-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều $(\sqrt x + 1)\sqrt y + 1) \ge 4$ xuanvy2005 Bất đẳng thức - Cực trị 1 25-04-2016 18:18
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
4a^2-b^2=1 chứng minh 8a^3 b^3>=, điều, b3geq, chứng, dương, kiện$4a2b21$, rằng, sqrt3ab, thỏa, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014