Cho $x,y,z$ là các số thực không âmm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTNN và GTLN của : $P=x+y+z-xyz$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 20-01-2013, 21:51
Avatar của Mạnh
Mạnh Mạnh đang ẩn
Khang Hi Vi Hành
Đến từ: CUNG TRĂNG
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 348
Điểm: 85 / 5199
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 1144
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 255
Đã cảm ơn : 548
Được cảm ơn 538 lần trong 187 bài viết

Lượt xem bài này: 1920
Mặc định Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTNN và GTLN của : $P=x+y+z-xyz$

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTNN và GTLN của :
$$P=x+y+z-xyz$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (21-01-2013), Nguyễn Bình (22-01-2013)
  #2  
Cũ 21-01-2013, 14:27
Avatar của hbtoanag
hbtoanag hbtoanag đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Long Kiến, An Giang
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 16 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 376
Điểm: 98 / 5483
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 2166
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 295
Đã cảm ơn : 649
Được cảm ơn 810 lần trong 261 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi giangmanh Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTNN và GTLN của :
$$P=x+y+z-xyz$$
Giả sử $x\le y\le z$ thì ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\frac{1}{3} \right]\Rightarrow x\in \left[ 0;\frac{1}{\sqrt{3}} \right]$.

Vì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ nên $yz<1\Leftrightarrow 1-yz>0$.

(i). Tìm Min của $P(x;y;z)$.
Ta có $P=(1-yz)x+y+z\ge y+z$

Ta có ${{P}^{2}}(x;y;z)=1+2yz\ge 1$ nên $P(x;y;z)\ge 1$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
(1-yz)x=0 \\
yz=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=y=0 \\
z=0 \\
\end{matrix} \right.\vee \left\{ \begin{matrix}
x=z=0 \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.$.


(ii). Tìm Max $P(x;y;z)=(1-yz)x+y+z$,

Ta có
$P\le (1-{{x}^{2}})x+\sqrt{2({{y}^{2}}+{{z}^{2}})}=(1-{{x}^{2}})x+\sqrt{2(1-{{x}^{2}})}\le (1-{{x}^{2}})x+\sqrt{3}.\frac{\frac{2}{3}+1-{{x}^{2}}}{2}=(1-{{x}^{2}})x+\frac{\sqrt{3}}{6}(5-3{{x}^{2}})$.

Khảo sát hàm $f(x)=(1-{{x}^{2}})x+\frac{\sqrt{3}}{6}(5-3{{x}^{2}})$ trên đoạn $\left[ 0;\frac{1}{\sqrt{3}} \right]$ thì thấy
$f(x)\le f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)=\frac{8\sqrt{3}}{9}$.

Vậy $\min P=1$ khi $x=0;y=0;z=1$ và các hoán vị.
và $\max P=\frac{7\sqrt{3}}{9}$ khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

PS: Chỉnh lại nhưng thấy $max$ sai, thôi mai nghĩ tiếp, anh em nào phát hiện nhờ chỉnh dùm.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 9 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (23-01-2013), NHPhuong (21-01-2013), Lê Đình Mẫn (21-01-2013), Lưỡi Cưa (21-01-2013), Mạnh (21-01-2013), Nguyễn Bình (22-01-2013), nhatqny (23-01-2013), Phạm Kim Chung (21-01-2013), zzđói toánzz (21-01-2013)
  #3  
Cũ 22-01-2013, 21:17
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13504
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi hbtoanag Xem bài viết
Giả sử $x\le y\le z$ thì ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\frac{1}{3} \right]\Rightarrow x\in \left[ 0;\frac{1}{\sqrt{3}} \right]$.

Vì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ nên $yz<1\Leftrightarrow 1-yz>0$.
Như vậy, $P(x,y,z)=(1-yz)x+y+z$ là hàm bậc nhất theo $x$.

Ta có $1-yz>0$ nên $P(x,y,z)$ đồng biến.

Suy ra $P(x,y,z)\ge P(0;y;z)=y+z$ và $P(x,y,z)\le P\left( \frac{1}{\sqrt{3}};y;z \right)=(1-yz)\frac{1}{\sqrt{3}}+y+z$.

(i). Tìm Min của $P(0;y;z)=y+z$ với ${{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$.

Ta có ${{P}^{2}}(0;y;z)=1+2yz\ge 1$ nên $P(0;y;z)\ge 1$.

(ii). Tìm Max $P\left( \frac{1}{\sqrt{3}};y;z \right)=(1-yz)\frac{1}{\sqrt{3}}+y+z$, với ${{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{2}{3}$.

Đặt $t=y+z,\Rightarrow xy=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$, và $t=y+z\le \sqrt{2({{y}^{2}}+{{z}^{2}})}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Khi đó $P\left( \frac{1}{\sqrt{3}};y;z \right)=(1-yz)\frac{1}{\sqrt{3}}+y+z=\frac{1}{\sqrt{3}}\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)+t=-\frac{{{t}^{2}}}{2\sqrt{3}}+t+\frac{\sqrt{3}}{2}=f (t)$.

Ta có ${f}'(t)=-\frac{t}{\sqrt{3}}+1=0>0,\forall t\in \left[ 0;\frac{2}{\sqrt{3}} \right]$ nên $f(t)\le f\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)=\frac{7\sqrt{3}}{9}$

Vậy $\min P=1$ khi $x=0;y=0;z=1$ và các hoán vị.
và $\max P=\frac{7\sqrt{3}}{9}$ khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Giờ mới nhớ lại. Cách giải này là không đúng thầy à. Bởi vì khi xem $P$ là hàm bậc nhất theo $x$ thì ta đã xem $y,z$ như là hằng số cho trước độc lập với $x$. Đối với bài toán này thì $x,y,z$ là ba biến phụ thuộc nhau. Tham khảo ví dụ sau sẽ được sáng tỏ.
Bài toán: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3.$ Tìm GTNN của biểu thức \[P=(x+2)(y+2)(z+2)\]
Nếu theo cách trên thì ta có lời giải cho bài toán như sau:
Trong $3$ số $x^2,y^2,z^2$ có ít nhất 1 số $\le 1$. Giả sử $x^2\le 1\Rightarrow -1\le x\le 1$. Khi đó
\[\begin{aligned}P&=xyz+4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)+8\\
&= (2y+2z+yz+4)x+2yz+8+4(y+z)=f(x)\end{aligned}\]
Từ giả thiết ta có $y^2,z^2\le 3\Rightarrow y,z\in [-\sqrt{3};\sqrt{3}]\Rightarrow (y+2)(z+2)>0$, nên $f(x)$ là hàm đồng biến.
Suy ra $f(x)\ge f(-1)=2y+2z+4+yz$.
Khi $x=-1$ thì $y^2+z^2=2\iff (y+z)^2-2yz=2.$ Đặt $t=y+z\Rightarrow yz=\dfrac{t^2-2}{2}$
$\Rightarrow f(-1)=2t+4+ \dfrac{t^2-2}{2}= \dfrac{t^2+4t+6}{2}= \dfrac{(t+2)^2+2}{2}\ge 1$
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi $\begin{cases}x=-1\\ y^2+z^2=2\\ y+z=-2\end{cases}\iff x=y=z=-1$. Vậy $\min P=1.$
Nhưng khi $x=y= - \dfrac{1}{3},z=- \dfrac{5}{3}$ thì $P= \dfrac{25}{27}<1.$


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (22-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (22-01-2013), hoangphilongpro (23-01-2013), NHPhuong (23-01-2013), Nguyễn Bình (22-01-2013), nhatqny (23-01-2013), Phạm Kim Chung (22-01-2013), Tuấn Anh Eagles (08-04-2013)
  #4  
Cũ 23-01-2013, 00:17
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13504
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Min...có đoạn này sao thế thầy
[TABLE]Ta có ${{P}^{2}}(x;y;z)=1+2yz\ge 1$[/TABLE]


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
nhatqny (23-01-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz \neq 0$ Trường An Bất đẳng thức - Cực trị 4 14-06-2016 14:34



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$px, $x, $x2, âmm, các, của, cho, gtln, gtnn, không, , mãn, số, tìm, thỏa, thực, , y2, z$, z21$, zxyz$
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014