Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh: $xy+yz+zx+9 \geq 4(x+y+z)$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 19-01-2013, 23:31
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3374
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Lượt xem bài này: 1268
Mặc định Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh: $xy+yz+zx+9 \geq 4(x+y+z)$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (20-01-2013), Miền cát trắng (19-01-2013)
  #2  
Cũ 20-01-2013, 00:02
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 656
Điểm: 312 / 9859
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh: $$xy+yz+zx+9 \geq 4(x+y+z)$$
Nhân hai vế của bất đẳng thức với $xy+yz+zx$ ta được:
$$ (xy+yz+zx)^2+9(xy+yz+zx) \geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx) $$
Theo bất đẳng thức $Schur$ ta được:
$$ 4(x+y+z)(xy+yz+zx) \leq 9xyz+(x+y+z)^3 $$
Mà theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$$ (xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z)=3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z) $$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với việc chứng minh:
$$ 3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+9(xy+yz+zx) \geq 9xyz+(x+y+z)^3, $$
hay
$$ 9(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2)+2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \geq 0$$
Hay
$$ (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\bigg[2(x+y+z)-9\bigg] \geq 0$$
Do $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \le x^2+y^2+z^2=xyz \le \dfrac{(x+y+z)^3}{27}$ nên $x+y+z \geq 9 $.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (20-01-2013), Lê Đình Mẫn (20-01-2013)
  #3  
Cũ 20-01-2013, 01:22
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3374
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Mặc định

Mọi người cố gắng bài này không dùng tới BDT Schur.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 20-01-2013, 01:24
Avatar của Mạnh
Mạnh Mạnh đang ẩn
Khang Hi Vi Hành
Đến từ: CUNG TRĂNG
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 348
Điểm: 85 / 5195
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 1144
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 255
Đã cảm ơn : 548
Được cảm ơn 538 lần trong 187 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh: $$xy+yz+zx+9 \geq 4(x+y+z)$$
Áp dụng $AM-GM$ ta có :
$xy+yz+zx+9\geq 2\sqrt{xy^{2}x}+2\sqrt{9zx}\geq 4\sqrt[4]{9x^{2}y^{2}z^{2}}=4\sqrt{3xyz}$
$=4\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)}\geq 4\sqrt{\left(x+y+z \right)^{2}}\geq 4\left(x+y+z \right)$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
NHPhuong (20-01-2013), Lê Đình Mẫn (20-01-2013), Tuấn Anh Eagles (22-04-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Chứng minh: $(3a^{2}+1)(3b^{2}+1)(3c^{2}+1)\geq 64$ Mưa Sao Băng Bất đẳng thức - Cực trị 4 18-05-2016 12:54
Bài toán hay: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H(5;5). EF cắt BC tại P(8;0). M(9/2;7/2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. (Liệu có thể chứng minh PH dobinh1111 Hình giải tích phẳng Oxy 0 03-05-2016 12:44
Bài toán khó: Cho tam giác ABC co hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng PH vuông góc với AM. dobinh1111 Hình học phẳng 0 03-05-2016 12:41
Chứng minh tam giác cân bậc thang PVTHE-HB Hình học phẳng 0 30-04-2016 17:39
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$x, $x2, $xy, 4x, 9, chứng, cho, geq, mãn, minh, thoả, y2, yz, z$, z&gt0$, z>0$, z2xyz$, zx
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014