Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả mãn $ \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab} \ge \frac{a+b+c}{4}$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TRUNG HỌC giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chương trình Toán lớp 10 giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số 10 giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 19-01-2013, 19:46
Avatar của maixuanhang
maixuanhang maixuanhang đang ẩn
Thành viên Danh dự
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 321
Điểm: 73 / 4611
Kinh nghiệm: 85%

Thành viên thứ: 3249
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 220
Đã cảm ơn : 132
Được cảm ơn 60 lần trong 42 bài viết

Lượt xem bài này: 2539
Mặc định Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả mãn $ \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab} \ge \frac{a+b+c}{4}$$

Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả mãn $ \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab} \ge \frac{a+b+c}{4}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (12-02-2013), Huy Vinh (01-06-2013), lêmaikhanh (15-04-2013), Nắng vàng (19-01-2013)
  #2  
Cũ 19-01-2013, 20:24
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13495
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi maixuanhang Xem bài viết
Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả mãn $ \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab} \ge \frac{a+b+c}{4}$$
Tôi có một hướng giải như sau:
Bài giải(AM-GM):

Ta có \[\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\iff ab+bc+ca=abc\]
Biến đổi vế trái BĐT trên
$$\begin{aligned}&\frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\\
= &(a+b+c)- \sum \frac{a^2bc}{a^2+abc}= (a+b+c)- \sum \frac{a(ab+bc+ca)}{a^2+ab+bc+ca}\\
= &(a+b+c)- \sum \frac{a(ab+bc+ca)}{(a+b)(a+c)}\end{aligned}$$
Do đó BĐT ban đầu tương đương với
\[(ab+bc+ca)\left( \dfrac{a}{(a+b)(a+c)}+ \dfrac{b}{(b+a)(b+c)}+ \dfrac{c}{(c+a)(c+b)} \right)\le \dfrac{3(a+b+c)}{4}\\
\iff 8(ab+bc+ca)^2\le 3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)\quad (1)\]
Sử dụng $AM-GM$ ta có thể dễ dàng chứng minh được BĐT quen thuộc sau
\[(a+b)(b+c)(c+a)\ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\]
Khi đó, BĐT $(1)$ quy về chứng minh
\[(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\]
Bài toán đã được giải quyết!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 15 người đã cảm ơn cho bài viết này
Aku Khung (21-01-2014), Ashin_xman (08-06-2013), dienhosp3 (12-02-2013), Hồng Sơn-cht (29-06-2013), hdn2309 (12-03-2013), lêmaikhanh (15-04-2013), Lưỡi Cưa (19-01-2013), maixuanhang (19-01-2013), Mạnh (19-01-2013), Miền cát trắng (19-01-2013), nhatqny (19-01-2013), Phạm Kim Chung (22-01-2013), toantuoitre (13-02-2013), Tuấn Anh Eagles (29-06-2013), Viet Hoang (19-12-2013)
  #3  
Cũ 12-02-2013, 14:42
Avatar của dienhosp3
dienhosp3 dienhosp3 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: THPT Thái Lão
Nghề nghiệp: Sinh viên
Sở thích: Graphics, Design
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 273
Điểm: 55 / 4044
Kinh nghiệm: 94%

Thành viên thứ: 1385
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 166
Đã cảm ơn : 626
Được cảm ơn 228 lần trong 90 bài viết

Smile

Giả thiết đã cho tương đương với: $ab + bc + ca = abc$.
Ta có: $VT=\sum \frac{a^2}{a+bc} = \sum \frac{a^3}{a^2+abc} = \sum \frac{a^3}{a^2+ab +bc+ca} = \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}$.
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \frac{a+b}{8} + \frac{a+c}{8} \ge \frac{3a}{4}.$$
Tương tự hai bất đẳng thức nữa, cộng lại ta có điều phải chứng minh.


Mời các bạn đón đọc Công Phá Đề Thi THPT Quốc Gia Môn Toán


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 10 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (29-06-2013), hdn2309 (12-03-2013), Huy Vinh (01-06-2013), Huyen Dao (09-03-2013), lêmaikhanh (15-04-2013), Lạnh Như Băng (12-02-2013), Pary by night (27-02-2013), sirhungns (12-02-2013), Sv_ĐhY_013 (27-02-2013), Tuấn Anh Eagles (29-06-2013)
  #4  
Cũ 27-02-2013, 03:42
Avatar của Sv_ĐhY_013
Sv_ĐhY_013 Sv_ĐhY_013 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 160
Điểm: 24 / 2254
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 4579
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 72
Đã cảm ơn : 96
Được cảm ơn 119 lần trong 50 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi maixuanhang Xem bài viết
Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả mãn $ \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab} \ge \frac{a+b+c}{4}$$
Hai lời giải trên bằng AM_GM rất hay, e xin góp thêm Cauchy_Schwarzt:
GT $\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz$
Ta có: Áp dụng BĐT C_S:
$BĐT \Leftrightarrow \dfrac{a^4}{a^3+a^2bc}+
\dfrac{b^4}{b^3+b^2ac}+\dfrac{c^4}{c^3+c^2ab}\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+abc(a+b+c)}$

Kết hợp với giả thiết , ta cần chứng minh bất đẳng thức đồng bậc :
$4(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(ab+bc+ca))
$
$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+3abc)$
$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)+3abc(a+b+c)$

Tới đây thì quá dễ dàng với BĐT AM-GM cơ bản rồi.
Ta suy ra dpcm.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (01-06-2013), lêmaikhanh (15-04-2013), maixuanhang (17-05-2013), Tuấn Anh Eagles (29-06-2013), Viet Hoang (19-12-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$, $$fraca2a, $a, ab, ac, ba, bc, c$, c4$$, chứng, cho, dương, frac1a, frac1b, frac1c1$, fraca, fracb2b, fracc2c, ge, , mãn, minh, rằng, số, thoả
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014