Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{1+ab}} + \sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{1+bc}}+ \sqrt{\frac{{{c}^{4}}+{{a}^{4}}}{1+ca}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-01-2013, 10:31
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 11889
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 885
Được cảm ơn 843 lần trong 530 bài viết

Lượt xem bài này: 1077
Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{1+ab}} + \sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{1+bc}}+ \sqrt{\frac{{{c}^{4}}+{{a}^{4}}}{1+ca}}$

Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\sqrt{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{1+ab}}+\sqrt{ \frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{{{c} ^{4}}+{{a}^{4}}}{1+ca}}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  catbuilata 
Hà Nguyễn (18-01-2013)
  #2  
Cũ 18-01-2013, 15:52
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13504
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\sqrt{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{1+ab}}+\sqrt{ \frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{{{c} ^{4}}+{{a}^{4}}}{1+ca}}$$
Dự đoán điểm rơi $a=b=c=1$ và $\min P=3.$ Ta có
\[ \sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}\ge_{AM-GM} \frac{ab\sqrt{2}}{\sqrt{1+ab}}= \frac{abc\sqrt{2c}}{c\sqrt{c+abc}}= \frac{2}{\sqrt{2c(c+1)}}\ge_{AM-GM} \frac{4}{3c+1}\]
Do đó ta chỉ cần chứng minh BĐT mạnh hơn sau đây:
\[\frac{4}{3a+1}+ \frac{4}{3b+1}+ \frac{4}{3c+1}\ge 3\\
\iff\frac{1}{3a+1}+ \frac{1}{3b+1}+ \frac{1}{3c+1}\ge \dfrac{3}{4}\quad (1)\]
Đặt $a= \dfrac{1}{x^2},\ b= \dfrac{1}{y^2},\ c= \dfrac{1}{z^2}$. Dĩ nhiên $x,y,z>0,\ xyz=1.$ Khi đó $(1)$ trở thành
\[\frac{x^2}{x^2+3}+ \frac{y^2}{y^2+3}+ \frac{z^2}{z^2+3}\ge \dfrac{3}{4}\quad (2)\]
Từ giả thiết suy ra $3=3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\le xy+yz+zx$ nên theo $Cauchy-Schwarz$ ta có
\[VT_{(2)}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{(x^2+y^2+z^2)+2.3+3}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+3}\ge \dfrac{9}{9+3}= \dfrac{3}{4}\quad (3)\]

Như vậy
\[\boxed{\min P = 3\iff a=b=c=1}\]


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
pttha (31-07-2014), catbuilata (19-01-2013), hthtb22 (18-01-2013), Lưỡi Cưa (18-01-2013), nguyenxuanthai (18-01-2013), nhatqny (18-01-2013), Tuấn Anh Eagles (23-04-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mu8991 Bất đẳng thức - Cực trị 3 29-05-2016 01:03
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $abc1$, $psqrtfraca4, 4, a41, ab, điều, b41, bc, biểu, c$, c41, ca$, các, của, cho, dương, fracb4, giá, kiện, mãn, nhất, nhỏ, số, sqrt, sqrtfracb4, sqrtfracc, sqrtfracc4, tìm, thức, thực, thoả, trị
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014