Cho $x,y,z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{2xy}{\left(z+x \right)\left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}+\frac{3zx}{\left(y+z \right)\left(y+x \right)}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 17-01-2013, 19:18
Avatar của Mạnh
Mạnh Mạnh đang ẩn
Khang Hi Vi Hành
Đến từ: CUNG TRĂNG
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 348
Điểm: 85 / 5190
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 1144
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 255
Đã cảm ơn : 548
Được cảm ơn 538 lần trong 187 bài viết

Lượt xem bài này: 772
Mặc định Cho $x,y,z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{2xy}{\left(z+x \right)\left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}+\frac{3zx}{\left(y+z \right)\left(y+x \right)}$

Cho $x,y,z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$P=\frac{2xy}{\left(z+x \right)\left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}+\frac{3zx}{\left(y+z \right)\left(y+x \right)}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lưỡi Cưa (17-01-2013), Nguyễn Bình (22-04-2013)
  #2  
Cũ 17-01-2013, 21:21
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13480
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi giangmanh Xem bài viết
Cho $x,y,z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$P=\frac{2xy}{\left(z+x \right)\left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}+\frac{3zx}{\left(y+z \right)\left(y+x \right)}$$
Phân tích và hướng dẫn giải:

Quá trình dự đoán GTNN diễn ra như sau:
Biểu thức $P$ đồng bậc và đối xứng theo hai biến $x,z$ nên cực trị đạt được khi $x=z$. Bằng phép đặt $x=ay,z=by$ với $a,b>0.$ Ta quy biểu thức $P$ về còn hai biến và tất nhiên việc xử lý biểu thức hai biến có thể đơn giản hơn ba biến.
\[P(x,y,z)=P(a,b)= \dfrac{2a}{(a+b)(1+b)}+ \dfrac{2b}{(a+b)(1+a)}+ \dfrac{3ab}{(1+a)(1+b)}\]
Đến đây, để biết được $\min P$ bằng bao nhiêu thì ta cần chú ý một điều rằng khi đó $a=b.$ Bây giờ ta cho $a=b$ thì
\[P(a,a)= \dfrac{2}{1+a}+ \dfrac{3a^2}{(1+a)^2}\]
Khảo sát hàm $P(a)= \dfrac{2}{1+a}+ \dfrac{3a^2}{(1+a)^2}$ ta tìm được $\min P= \dfrac{5}{3}\iff a= \dfrac{1}{2}.$
Như vậy là ta đã biết được rằng giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng bao nhiêu và khi nào.
Chú ý: Tất nhiên ở phép đổi biến đầu tiên ta cũng có thể đặt $x=az,y=bz$ hay $y=ax,z=bx$... Nhưng nếu đặt như thế này thì việc dự đoán dấu bằng sẽ rất khó khăn. (Vì sao các bạn tự suy xét nhé!)
Kết thúc quá trình dự đoán cực trị là phần trình bày:
Hơn thế nữa, sau phép đặt như trên thì biểu thức $P$ còn hai biến và cũng khá đơn giản. Do đó, chúng ta có thể chứng minh $P\ge \dfrac{5}{3}$ bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:
\[\dfrac{2a}{(a+b)(1+b)}+ \dfrac{2b}{(a+b)(1+a)}+ \dfrac{3ab}{(1+a)(1+b)}\ge \dfrac{5}{3}\\ \iff (a-b)^2+(a+b)(1+4ab)\ge 8ab\quad (1)\]
Mà BĐT $(1)$ luôn đúng theo $AM-GM$.
Tóm lại, \[\min P= \dfrac{5}{3}\iff a=b= \dfrac{1}{2}\text{ hay }y=2z=2x>0.\]


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
cuclac (13-10-2013), NHPhuong (17-01-2013), Trần Quốc Luật (17-01-2013), Mạnh (17-01-2013), Nguyễn Bình (02-03-2013), Test Spam (17-01-2013), Tuấn Anh Eagles (23-04-2013), vinh1b (17-01-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$pfrac2xyleftz, $x, của, cho, frac2yzleftx, frac3zxlefty, giá, nhất, nhỏ, right$, rightleftx, rightlefty, rightleftz, tìm, trị, z>0$
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014