Hệ phương trình đề thi HSG quốc gia 2013

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Hệ phương trình


 
Công cụ bài viết Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 11-01-2013, 12:47
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 656
Điểm: 312 / 13068
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938

Lượt xem bài này: 1456
Mặc định Hệ phương trình đề thi HSG quốc gia 2013

Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} + \sqrt {{{\cos }^2}y + \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}} = \sqrt {\frac{{20y}}{{x + y}}} }&{}\\
{\sqrt {{{\sin }^2}y + \frac{1}{{{{\sin }^2}y}}} + \sqrt {{{\cos }^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} = \sqrt {\frac{{20x}}{{x + y}}} }&{}
\end{array}} \right.$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 11-01-2013, 13:25
Avatar của Mạnh
Mạnh Mạnh đang ẩn
Khang Hi Vi Hành
Đến từ: CUNG TRĂNG
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 348
Điểm: 85 / 6898
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 1144
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 255

Mặc định

Nguyên văn bởi NgoHoangToan Xem bài viết
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} + \sqrt {{{\cos }^2}y + \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}} = \sqrt {\frac{{20y}}{{x + y}}} }&{}\\
{\sqrt {{{\sin }^2}y + \frac{1}{{{{\sin }^2}y}}} + \sqrt {{{\cos }^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} = \sqrt {\frac{{20x}}{{x + y}}} }&{}
\end{array}} \right.$$
ĐK : $
\begin{cases}
\sin x\neq 0 & \\
\sin y\neq 0 & \\
\cos x\neq 0 & \\
\cos y\neq 0 &
\end{cases}$
Bình phương 2 vế của phương trình rồi cộng lại với nhau ta được :
$\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + {\cos ^2}x + {\sin ^2}y + {\cos ^2}y + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}y}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}\\
+ 2\left( {\sqrt {\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {{{\cos }^2}y + \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}} \right)} + \sqrt {\left( {{{\sin }^2}y + \frac{1}{{{{\sin }^2}y}}} \right)\left( {{{\cos }^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} } \right) = 20
\end{array}$
Ta CM $VT\geq 20$ Thật vậy :
Ta có $VT\geq 2+\frac{4}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}+\frac{4}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}+2\left(|\sin x\cos y|+\frac{1}{|\sin x\cos y|}+|\sin y\cos x|+\frac{1}{|\sin y\cos x|} \right)$
$=10+2\left(4|\sin x\cos y|+\frac{1}{|\sin x\cos y|}+4|\sin y\cos x |+\frac{1}{|\sin y\cos x|}-3\left(|\sin x\cos y|+ |\sin y\cos x|\right)\right)$
$\Rightarrow VT\geq 10+2\left(8-3\frac{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x+\sin ^{2}y+\cos ^{2}y}{2} \right)\geq 10+10=20$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 11-01-2013, 13:30
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 656
Điểm: 312 / 13068
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938

Mặc định

Nguyên văn bởi NgoHoangToan Xem bài viết
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} + \sqrt {{{\cos }^2}y + \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}} = \sqrt {\frac{{20y}}{{x + y}}} }&{}\\
{\sqrt {{{\sin }^2}y + \frac{1}{{{{\sin }^2}y}}} + \sqrt {{{\cos }^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} = \sqrt {\frac{{20x}}{{x + y}}} }&{}
\end{array}} \right.$$
Lời giải:
Cộng vế theo vế của hai phương trình lại ta được:
$\sqrt {si{n^2}x + \frac{1}{{si{n^2}x}}} + \sqrt {co{s^2}x + \frac{1}{{co{s^2}x}}} + \sqrt {si{n^2}y + \frac{1}{{si{n^2}y}}} + \sqrt {co{s^2}y + \frac{1}{{co{s^2}y}}} = \sqrt {20} \left( {\sqrt {\frac{x}{{x + y}}} + \sqrt {\frac{y}{{x + y}}} } \right)$

Theo bất đẳng thức $Minscowki$ ta có :
$$ VT \geq \sqrt{(|sinx|+|cosx|)^2+(\dfrac{1}{|sinx|}+\dfrac{ 1}{|cosx|})^2}+\sqrt{(|siny|+|cosy|)^2+(\dfrac{1}{ |siny|}+\dfrac{1}{|cosy|})^2}$$

Hay
$ VT \geq \sqrt{1+2|sinxcosx|+\dfrac{1+2|sinxcosx|}{sin^2xco s^2x}}+\sqrt{1+2|sinycosy|+\dfrac{1+2|sinycosy|}{s in^2ycos^2y}} \geq \sqrt{1+2|sinxcosx|+4\dfrac{1+2|sinxcosx|}{|sin2x| }}+\sqrt{1+2|sinycosy|+4\dfrac{1+2|sinycosy|}{|sin 2x|}} \geq 2\sqrt{10} $

Xét $$\sqrt{20}[\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+y}}] \leq \sqrt{2.20 [\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}] }=2\sqrt{10}$$
Vậy .....



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 11-01-2013, 15:18
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 532
Điểm: 197 / 10623
Kinh nghiệm: 29%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 591

Mặc định

Nguyên văn bởi NgoHoangToan Xem bài viết
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} + \sqrt {{{\cos }^2}y + \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}} = \sqrt {\frac{{20y}}{{x + y}}} }&{}\\
{\sqrt {{{\sin }^2}y + \frac{1}{{{{\sin }^2}y}}} + \sqrt {{{\cos }^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} = \sqrt {\frac{{20x}}{{x + y}}} }&{}
\end{array}} \right.$$
Góp thêm một hướng đi nữa cho vui hen.
Bài hệ này ta chỉ cần áp dụng một bất đẳng thức hết sức thân quen sau : $$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$$Thật vậy bình phương hai vế phương trình trong hệ rồi cộng lại ta có :$$\left(\sqrt{\sin^2 x+\dfrac{1}{\sin^2 x}} +\sqrt{\cos^2 y + \dfrac{1}{\cos^2 y}} \right)^2+ \left(\sqrt{\sin^2 y+\dfrac{1}{\sin^2 y}} +\sqrt{\cos^2 x + \dfrac{1}{\cos^2 x}} \right)^2 =20$$Áp dụng bất đẳng thức đã nêu ở trên và thu gọn lại ta sẽ thu được : $$20 \le 4 +\left(\dfrac{1}{\sin^2 2x} + \dfrac{1}{\sin^2 2y} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2 2x} + \dfrac{1}{\sin^2 2y} \ge 2$$ Tuy nhiên bất đẳng thức cuối cùng đúng vì $\sin^2 2x \le 1 \ ; \ \sin^2 2y \le 1.$
Do đó ta có $\sin^2 2x = \sin^2 2y =1 \Rightarrow x=y = \dfrac{\pi}{4} +k \dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb Z$


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Từ khóa
đề, hệ pt quốc gia 2013, phương, quốc, trình
Công cụ bài viết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên