Tìm GTLN của biểu thức: $P= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+2}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-01-2013, 11:37
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3367
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Lượt xem bài này: 1366
Mặc định Tìm GTLN của biểu thức: $P= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+2}}$

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $xyz=x+y+z+2$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+2}}$$.


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (08-01-2013), Lưỡi Cưa (08-01-2013), Tuấn Anh Eagles (02-03-2013)
  #2  
Cũ 08-01-2013, 12:46
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13465
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $xyz=x+y+z+2$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+2}}$$.
Đây là câu V trích từ đề thi thử ĐH lần 3 của nguoithay.vn

Cách 1: (Khá dài)
Phân tích: Điểm rơi dễ đoán $x=y=z=2.$ Bài này có nhiều hướng tấn công. Trước khi tìm hiểu các hướng đó, tôi có một lời giải đi ngược từ bài toán đơn giản.
Lời giải:
Với giả thiết bài toán ta viết lại là $\sum \dfrac{1}{xy}+ \dfrac{2}{xyz}=1$. Đẳng thức này khiến chúng ta liên tưởng tới phép đặt
$m= \dfrac{1}{\sqrt{xy}}, n= \dfrac{1}{\sqrt{yz}}, p= \dfrac{1}{\sqrt{zx}}.$ Hiển nhiên, $m,n,p$ dương. Khi đó giả thiết bài toán được viết lại là
\[\boxed{m^2+n^2+p^2+2mnp=1}\]
Lúc này, \[P= \dfrac{mp}{\sqrt{n^2+2mp}}+ \dfrac{np}{\sqrt{m^2+2np}}+ \dfrac{mn}{\sqrt{p^2+2mn}}\]
Giả thiết khiến chúng ta liên tưởng đến phép đặt $m= \cos A,\ n= \cos B,\ p= \cos C$ với $A,B,C$ là ba góc một tam giác nhọn $ABC$ nào đó. Khi ấy, biểu thức $P$ có thể chuyển về biểu thức chứa các hàm lượng giác. Nhưng, trong lượng giác ta lại có một công thức khá thú vị và có nhiều ứng dụng đó là $\cos^2A= \dfrac{\cot^2A}{(\cot A+\cot B)(\cot A+\cot C)}.$ Vì thế, nếu $\cot A=u,\cot B=v,\cot C=w$ thì ta có thể đặt luôn như sau
\[m= \dfrac{u}{\sqrt{(u+v)(u+w)}}, n= \dfrac{v}{\sqrt{(v+u)(v+w)}}, p= \dfrac{w}{\sqrt{(w+u)(w+v)}}\]
Do đó, với $uw+vw+uw=1$ thì \[P= \dfrac{uv}{\sqrt{(uw+vw)^2+2(uv)^2}}+ \dfrac{vw}{\sqrt{(uw+uv)^2+2(vw)^2}}+ \dfrac{uw}{\sqrt{(uv+vw)^2+2(uw)^2}}\]
Lại tiếp tục đặt $a=uv,b=vw,c=uw$ ta có $a+b+c=1$ và
\[P= \dfrac{a}{\sqrt{(b+c)^2+2a^2}}+ \dfrac{b}{\sqrt{(a+c)^2+2b^2}}+ \dfrac{c}{\sqrt{(b+a)^2+2c^2}}\]
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có
\[\dfrac{a}{\sqrt{(b+c)^2+2a^2}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3\left [\frac{(b+c)^2}{2}+\frac{(b+c)^2}{2}+2a^2\right ]}}\le \dfrac{a\sqrt{6}}{2(a+b+c)}\]
Xét tương tự cho hai biểu thức còn lại ta suy ra \[\boxed{P\le \dfrac{\sqrt{6}}{2}}\]
Vậy, \[\color{green}{\boxed{\max P = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\iff x=y=z=2.}}\]

Cách 2: (Bigbang_Boxmath)
$xyz=x+y+z+2$ Tương đương với $(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(x+1)(z+1)=(x+1)(y+1)(z+1). $ Hay là

$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Mặt khác :

$$P=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{(4+2)(x^2+2)}} +\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{(4+2)(y^2+2)}}+\dfrac{\sqr t{6}}{\sqrt{(4+2)(z^2+2)}}$$

$$ \le \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{(2x+2)^2}}+\dfrac{\sqrt{6}} {\sqrt{(2y+2)^2}}+\dfrac{ \sqrt{6} }{\sqrt{(2z+2)^2}}$$

Theo (1) thì $P \le \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$
Cách 3:...


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 6 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (08-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (08-01-2013), hthtb22 (11-01-2013), NHPhuong (08-01-2013), Miền cát trắng (08-01-2013), Tuấn Anh Eagles (02-03-2013)
  #3  
Cũ 02-03-2013, 19:16
Avatar của Tuấn Anh Eagles
Tuấn Anh Eagles Tuấn Anh Eagles đang ẩn
Ma Băng Long
Sở thích: NGỦ
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 556
Điểm: 216 / 7806
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 4712
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 650
Đã cảm ơn : 1.858
Được cảm ơn 985 lần trong 423 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $xyz=x+y+z+2$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+2}}$$.
Em xin đóng góp thêm một cách ạ:
$xyz=x+y+z+2 \geq 3\sqrt[3]{xyz}+2$
$\Leftrightarrow x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz} \geq 6(*)$
Ta lại có đánh giá sau:
$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{x}{3\sqrt{6}}$
thiết lập các BDT tương tự và cộng vế ta có đpcm



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm GTLN biểu thức : $$P=ab+bc+ca$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 2 18-05-2016 13:20
Tìm GTLN của biểu thức $P=8xy+24xz+84yz-21(x^2+4)\sqrt{(x+y+z)^2-1}$ letrungtin Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 12:43
Tìm GTLN P=$a+b+c-\frac{1}{2} (\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} + \sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}} + \sqrt[3]{\frac{c^3+a^3}{2}})$ shk202 Bất đẳng thức - Cực trị 2 20-03-2015 12:38



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$p, $x, $xyzx, 2, 2$, biểu, của, cho, dfrac1, gtln, mãn, sqrtx2, sqrty2, sqrtz2, tìm, thức, thoả, z&gt0$, z>0$
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014