Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán: Số phức - Lượng giác giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Số phức

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-01-2013, 10:44
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 11889
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 885
Được cảm ơn 843 lần trong 530 bài viết

Lượt xem bài này: 2133
Mặc định Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  catbuilata 
Phạm Kim Chung (11-01-2013)
  #2  
Cũ 08-01-2013, 13:18
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 529
Điểm: 195 / 7988
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 585
Đã cảm ơn : 379
Được cảm ơn 1.758 lần trong 473 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$
Bài toán này con phố quen có hướng đi sau :
Đặt $z=x+yi, \ x,y \in \mathbb R.$ Từ điều kiện :$\left|z \right|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1 \Leftrightarrow y^2=1-x^2 \ge 0 \Rightarrow -1 \le x \le 1.$
Mặt khác ta có : $\ z^2-z+1=(x+yi)^2-(x+yi)+1=2x^2-x+(2x-1)yi$
Do đó : $\left|z^2-z+1 \right| = \sqrt{(2x-1)^2(x^2+y^2)} =\left|2x-1 \right|.$
Lại có : $z+1=x+1 +yi \Rightarrow \left|z+1 \right|= \sqrt{2(x+1)}$
Vậy ta đưa bài toán về bài toán cơ bản sau :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : $$f(x)=\sqrt{2(x+1)} + \left|2x-1 \right|$$ trên đoạn $\left[-1; \ 1 \right]$
Ta có hai trường hợp của bài toán :
  • Trường hợp 1 : Với $ \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \Rightarrow 2x-1 \ge 0.$
    Do đó ta có : $f(x)=\sqrt{2(x+1)} +2x-1$ có $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2(x+1)}}+2 >0, \ \forall x \in \left[\dfrac{1}{2}; 1 \right]$
    Từ đây ta có : $\mbox{max}f(x)=f(1)=3 \ ; \ \mbox{min}f(x)=f \left(\dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{3}.$
  • Trường hợp 2 : Với $-1 \le x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x-1 <0.$
    Do đó ta có : $f(x)=\sqrt{2(x+1)}+1-2x$ có $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2(x+1)}}-2, \ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{8}.$
    Và có :$f(-1)=3, \ f \left(\dfrac{-7}{8} \right)=\dfrac{13}{4} \ , \ f \left(\dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{3}.$
    Trong trường hợp này lưu ý ta không tồn tại giá trị nhỏ nhất mà chỉ có giá trị lớn nhất là $\dfrac{13}{4}$ đạt được khi $x= -\dfrac{7}{8}$
Tới đây ta dùng phép so sánh cả hai trường hợp ta rút ra kết luận :
  • Giá trị lớn nhất của $P= \dfrac{13}{4}$ lúc đó $z= -\dfrac{7}{8} \pm \dfrac{\sqrt{15}}{8}i.$
  • Giá trị nhỏ nhất của $P= \sqrt 3$ lúc đó $z=\dfrac{1}{2} \pm +\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.$


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (15-01-2013), Miền cát trắng (08-01-2013), nguyenhacp2211 (08-01-2013), Phạm Kim Chung (11-01-2013), unknowing (12-05-2013)
  #3  
Cũ 25-03-2014, 20:58
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 2201
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 214 lần trong 64 bài viết

Mặc định Re: Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$
Vì mỗi số phức đều có căn bậc 2 của nó, nên giả sử $u$ là căn bậc 2 của $z$ thế thì $|z|=|u^2|=u\bar u=1$, từ đó $|u|=|\bar u|=1$ vì vậy\[\begin{align*}
P &= \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + 1} \right|\\
&= |\bar u|\left| {{u^2} + 1} \right| + |{{\bar u}^2}|\left| {{u^4} - {u^2} + 1} \right|\\
&= \left| {u + \bar u} \right| + \left| {{u^2} - 1 + {{\bar u}^2}} \right|\\
&= \left| {u + \bar u} \right| + \left| {{{\left( {u + \bar u} \right)}^2} - 3} \right|
\end{align*}\]Để ý rằng $u + \bar u\in\mathbb R$ (nó là 2 lần phần thực của $u$), cho nên đặt $|u + \bar u|=t\in\mathbb R$ có\[P=t+|3-t^2|\]Để ý rằng $0\le t\le |u|+|\bar u|=2$, nên $t+\sqrt 3\ge 1$ do đó\[P=t+(t+\sqrt 3)|\sqrt 3-t|\ge t+|\sqrt 3-t|\ge t+\sqrt 3-t=\sqrt 3\]Đồng thời\[t - \frac{{13}}{4} < 0 < 3 - {t^2} = \frac{{13}}{4} - t - {\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{{13}}{4} - t\]Vậy $P=t+|3-t^2|\le t+\dfrac{13}{4}-t=\dfrac{13}{4}$.
Thêm nữa, khi $z=\dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$ thì $P=\sqrt 3$ và khi $z=u^2$ với $u=\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ thì $P=\dfrac{13}{4}$. Vậy nên giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\sqrt 3$, còn giá trị lớn nhất cần tìm là $\dfrac{13}{4}$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (26-03-2014), quynhhuongvu96 (04-05-2014), thanhquan (25-03-2014), vsstung (28-03-2014)
  #4  
Cũ 17-04-2014, 03:17
Avatar của Mathplus
Mathplus Mathplus đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 85
Điểm: 10 / 954
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 19866
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 32
Đã cảm ơn : 4
Được cảm ơn 19 lần trong 12 bài viết

Mặc định Re: Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$
Do $|z|=1$ nên $$P=|z+1|+|z+\overline{z}-1|=\sqrt{2+z+\overline{z}}+|z+\overline{z}-1|.$$
Đặt $2+z+\overline{z}=x$ và có $|z+\overline{z}|\leq 2\Rightarrow 0\leq x\leq 4$.
Do đó $$P=\begin{cases}
\sqrt{x}+x-3\ \ \ \text{nếu}\ \ 4\geq x\geq 3\\\sqrt{x}+3-x\ \ \ \text{nếu}\ \ 0\leq x<3.\end{cases}$$
Mặt khác với $4\geq x\geq 3$ thì $3\geq P\geq \sqrt{3}$ và với $3> x \geq 0$ thì $P=-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{13}{4}\leq \dfrac{13}{4}$ và từ $-\dfrac{1}{2}\leq \sqrt{x}-\dfrac{1}{2}<\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}$ nên $P>\sqrt{3}$.\\
Vậy với mọi $x\in [0;4]$ thì $\sqrt{3}\leq P\leq \dfrac{13}{4}$.
Do đó $P_{\min}=\sqrt{3}$ tại $z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}$ và $P_{\max}=\dfrac{13}{4}$ tại $z=-\dfrac{7}{8}+\dfrac{i\sqrt{15}}{8}$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Man of Steel. (07-01-2017), quynhhuongvu96 (04-05-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$pleft|, $|z|, 1, 1$, , của, cho, left|, max, min, phức$, right|, right|$, số, tìm, , z$, z2z
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014