Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 4\left( {\frac{{x^3 }}{{y^3 }} + \frac{{y^3 }}{{x^3 }}} \right) - 9\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + \frac{{y^2 }}{{x^2 }}} \right) + 2013$ biết... - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-01-2013, 10:24
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 11855
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 885
Được cảm ơn 843 lần trong 530 bài viết

Lượt xem bài này: 953
Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 4\left( {\frac{{x^3 }}{{y^3 }} + \frac{{y^3 }}{{x^3 }}} \right) - 9\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + \frac{{y^2 }}{{x^2 }}} \right) + 2013$ , biết...

Cho $ x, y > 0$ và $2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+xy=(x+y)(xy+2)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 4\left( {\frac{{x^3 }}{{y^3 }} + \frac{{y^3 }}{{x^3 }}} \right) - 9\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + \frac{{y^2 }}{{x^2 }}} \right) + 2013$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (08-01-2013), Phạm Kim Chung (08-01-2013)
  #2  
Cũ 08-01-2013, 12:57
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 529
Điểm: 195 / 7967
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 585
Đã cảm ơn : 379
Được cảm ơn 1.758 lần trong 473 bài viết

Mặc định

$\infty$
Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho $ x, y > 0$ và $2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+xy=(x+y)(xy+2)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 4\left( {\frac{{x^3 }}{{y^3 }} + \frac{{y^3 }}{{x^3 }}} \right) - 9\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + \frac{{y^2 }}{{x^2 }}} \right) + 2013$$
Bài toán này, con phố quen có hướng giải sau đây.
Trước tiên, nhìn vào bài toán ta để ý ngay đến các biểu thức trong bài toán đều mang dáng dấp của hằng đẳng thức.
Thật vậy, ta có : $$\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{x^3} =\left(\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x} \right)^3 -3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \right).$$$$\dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2}= \left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right)^2-2.$$ Qua nhận xét này ta thấy đại lượng $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ lặp lại rất nhiều lần nên hoàn toán ta có thể ẩn phụ hóa bài toán để đưa bài toán có hai biến về bài toán một biến.
Cụ thể ta đặt : $t= \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} , t >0.$ Có lẻ đến đây một số bạn thay vào và ổn định hàm số một biến rồi tìm kết quả bài toán. Điều đó là quá vội vàng vì điều kiện $t>0$ chỉ là điều kiện "thoáng" nhưng trong bài toán cực trị ta cần phải điều kiện "hẹp đúng" thì mới tìm được kết quả chính xác cho bài toán.
Điều kiện "hẹp đúng" này sẽ được căn cứ vào đâu? Câu trả lời chính là điều kiện giả thiết đề bài cho : $$2(x^2+y^2)+xy=(x+y)(xy+2) \ (1)$$ Tuy nhiên ở điều kiện $(1)$ hoàn toàn không liên quan gì đến $t$ nên ta cần biến đổi đại số sao cho biến $t$ sẽ xuất hiện trong điều kiện $(1).$
Do $x,y>0$ nên ta chia hai vế của $(1)$ cho $xy$ ta thu được phương trình : $$2\left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right)+1= 2 \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right)+x+y \ (2)$$ Với phép biến đổi này, ta cũng chưa đạt được như mong muốn, nhưng ta hãy để ý :$$\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) \cdot (x+y)= \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} +2$$ Vậy là ta đã có tích của hai số hạng $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ và $x+y$ có chứa biến $t.$
Do đó ta sẽ nghỉ ngay đến bất đẳng thức $AM-GM$ để làm xuất hiện được $t$ đó là con đường tự nhiên nhất. Thật vậy, theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có : $$2\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) + \left(x+y \right) \ge 2\sqrt{2\left(2+ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right)}$$ Với đáng giá này và kết hợp với $(2)$ ta có : $$2\left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right)+1 \ge 2\sqrt{2\left(2+ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right)}$$ Hay dẫn đến : $$\begin{cases} t >0 \\ 2t+1 \ge 2\sqrt{2(2+t)} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t>0 \\ (2t+1)^2 \ge 8(2+t) \end{cases}$$$$\Leftrightarrow \begin{cases} t >0 \\ 4t^2-4t-15 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t>0 \\ t \le -\dfrac{3}{2} \ \vee \ t \ge \dfrac{5}{2} \end{cases}$$$$\Leftrightarrow t \ge \dfrac{5}{2}$$ Vậy là ta đã kết thúc hành trình đi tìm điều kiện "hẹp đúng" của $t.$ Bây giờ ta đưa bài toán ban đầu về bài toán cơ bản sau :
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : $$f(t)=4t^3-9t^2-12t +2031$$ trên nữa khoảng $\left[\dfrac{5}{2} \ ; \ +\infty \right)$
Ta có : $f'(t)=6(2t^2-3t-2) >0, \ \forall t \in \left[\dfrac{5}{2}; \ +\infty \right).$
Do đó ta có hàm số $f(t)$ đồng biến với mọi $t \in \left[\dfrac{5}{2}; \ +\infty \right).$ Nên ta có : $f(t) \ge f \left(\dfrac{5}{2} \right)= \dfrac{8029}{4}.$
Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ là $\dfrac{8029}{4}$ đạt được khi và chỉ khi $t=\dfrac{5}{2}.$ Lúc đó ta có : $$\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{2} \\\ 2\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right)=x+y \\\ x,y >0 \end{cases} \Rightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \end{matrix} \right.$$ Do đó ta có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\dfrac{8029}{4}$ đạt được khi $(x,y)=(2,1)$ hoặc $(x,y)=(1,2).$


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (08-01-2013), hdn2309 (12-03-2013), hthtb22 (08-01-2013), Lê Đình Mẫn (08-01-2013), Miền cát trắng (08-01-2013), nguyenhacp2211 (08-01-2013), nhatqny (08-01-2013), Sahara (13-02-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm GTNN của biểu thức P biết xy+yz+zx = 3 longnh Đại số luyện thi Đại học 1 05-05-2016 22:50
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$p, 2013$, 4left, 9left, biết, biểu, của, fracx2, fracx3, fracy2, fracy3, giá, nhất, nhỏ, tìm, thức, trị, x2, x3, y2, y3
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014