Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 07-01-2013, 00:33
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3372
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Lượt xem bài này: 1875
Mặc định Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $$P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (07-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (07-01-2013), Lưỡi Cưa (07-01-2013), nhatqny (07-01-2013), Quê hương tôi (07-01-2013)
  #2  
Cũ 07-01-2013, 02:45
Avatar của Lưỡi Cưa
Lưỡi Cưa Lưỡi Cưa đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Thanh Chương
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 24 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 584
Điểm: 241 / 8525
Kinh nghiệm: 37%

Thành viên thứ: 1972
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 723
Đã cảm ơn : 1.352
Được cảm ơn 1.145 lần trong 465 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $$P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$
Ta có thể giả sử $a\leq b\leq c$. Khi đó, $P\geq 0$. Do đó, $MinP =0$. Khi $a=b=0; c=1$ hoặc các hoán vị.
Còn cái GTLN: Ta chứng minh: $$P\leq \frac{\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{4}$$


Đừng ngại học hỏi
Bạn sẽ giỏi!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
lyhoaihieu (08-07-2013), nhatqny (07-01-2013)
  #3  
Cũ 07-01-2013, 11:02
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3372
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lưỡi Cưa Xem bài viết
Ta có thể giả sử $a\leq b\leq c$. Khi đó, $P\geq 0$. Do đó, $MinP =0$. Khi $a=b=0; c=1$ hoặc các hoán vị.
Còn cái GTLN: Ta chứng minh: $$P\leq \frac{\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{4}$$
GTNN của bạn sai rồi.

GTLN bạn nên làm cụ thể ra để mọi người còn tham khảo nữa. Đừng ghi một cách quá sơ sài như vậy.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
nguyenhacp2211 (07-01-2013), nhatqny (07-01-2013)
  #4  
Cũ 07-01-2013, 13:59
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13483
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $$P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$
Nhận xét: Bài này rất khó để đoán trước được điểm rơi. Biểu thức $P$ lại không đối xứng theo hai biến nào nên lại càng khó khăn hơn (Nhưng nếu tinh tế chút ta biết điểm rơi khi có một biến đạt tại biên bằng $0$).Dạng này có thể có một phép đổi biến đặc trưng. Nhưng mà chưa gặp thì chưa biết là lẽ đương nhiên. Vì thế, giải pháp đưa về hàm một biến là tối ưu nhất. Một điều nữa, nhận thấy rằng phép dồn về một ẩn theo hai biến trong ba biến $a,b,c$ đúng là quá khó, gần như không thể. Nếu đổi giả thiết thành $a+b+c=1$ may ra...!
Vì thế, đối với bài toán này tôi dùng pp $PQR$ để đưa về hàm một biến.
Tóm lược lời giải:

Xét $$P^2=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(a+b+c)^2$$
Nếu đặt $p=a+b+c\ge 0,\ 0\le q=ab+bc+ca\le 1,\ r=abc\ge 0$. Khi đó, giả thiết suy ra $p^2=2q+1$ và ta có
\[\begin{aligned}P^2&=(p^2q^2+8pqr-27r^2-4q^3-4p^3r)p^2\\
&=-27(2q+1)r^2-4(2q+1)\sqrt{2q+1}r+(2q+1)q^2(1-2q)=f(r)\end{aligned}\]
Ta có $f'(r)=0\iff r= \dfrac{-2\sqrt{2q+1}}{27}<0.$
Kết hợp BĐT $Schur$ suy ra $r\ge \max \left \{ 0, \dfrac{(2q-1)\sqrt{2q+1}}{4} \right \}$.
Vì hàm $f(r)$ là hàm bậc hai theo ẩn $r$ có hệ số $a<0$ và hoành độ đỉnh âm nên $f(r)$ nghịch biến trên $[0;+\infty).$
+ TH1: Nếu $\dfrac{1}{2}\le q\le 1$ thì
\[f(r)\le f \left( \dfrac{\sqrt{2q+1}(2q-1)}{4} \right ) =-218q^3+93q^2+54q-23\le 0.\]
+ TH2: Nếu $0\le q\le \dfrac{1}{2}$ thì
\[f(r)\le f \left( 0 \right ) =(1+2q)q^2(1-2q)\le \dfrac{1}{16}.\]
Do đó, \[- \dfrac{1}{4}\le P\le \dfrac{1}{4}\]
Vậy, \[\boxed{\min P= - \frac{1}{4}\Leftrightarrow a= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},b= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},c=0}\]
\[\color{blue}{\boxed{\max P= \frac{1}{4}\Leftrightarrow b= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},c= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},a=0}}\]
Chú ý: Để $P$ đạt GTNN xảy ra tại ba trường hợp $c>a>b,a>b>c,b>c>a$; $P$ đạt GTLN xảy ra trong ba trường hợp còn lại. Trên đây tôi chỉ nêu một trường hợp, có thể hoán vị các biến sao cho thỏa mãn minmax nữa.


P/S: OK


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
${\pi}^2$ (07-01-2013), hbtoanag (07-01-2013), hthtb22 (07-01-2013), NHPhuong (07-01-2013), nguyenhacp2211 (07-01-2013), nhatqny (07-01-2013), phung0907 (10-06-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm GTNN biểu thức : $$P=\sqrt{\frac{a}{b^3+c^3}}+\sqrt{\frac{b}{c^3+a^ 3}}+ln(a+b+c)$$. duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 3 30-05-2016 11:55
Tìm GTNN biểu thức : $$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c ^2+a^2}+\frac{6}{a^2+b^2+c^2}$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 3 24-05-2016 21:25
Tìm GTNN biểu thức : $$P=\sqrt{a+3b+4}+\sqrt{a+3c+4}.$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 3 19-05-2016 20:46
Tìm GTLN biểu thức : $$P=ab+bc+ca$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 2 18-05-2016 13:20
Tìm GTLN của biểu thức $P=8xy+24xz+84yz-21(x^2+4)\sqrt{(x+y+z)^2-1}$ letrungtin Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 12:43



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$pabbccaa, biểu, của, cho abc=1 tim min 1/a^2 2b^2 3, cho a^2 b^2 c^2=1 tìm min ab/c bc/a ac/b, cho a^2 b^2 c^2=1.tim gtnn cua p=-(a b c) 1/a 1/b 1/c, gtnn ab/c bc/a ca/b, không, thức, thoả
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014