[TOPIC] Sử dụng $AM - GM$ chứng minh bất đẳng thức - Trang 5 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #29  
Cũ 08-01-2013, 00:29
Avatar của Lưỡi Cưa
Lưỡi Cưa Lưỡi Cưa đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Thanh Chương
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 24 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 584
Điểm: 241 / 8504
Kinh nghiệm: 37%

Thành viên thứ: 1972
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 723
Đã cảm ơn : 1.352
Được cảm ơn 1.145 lần trong 465 bài viết

Mặc định

Bài 19. Cho các số thự dương $a, b, c$ thỏa mãn: $ a+b+c=3$. Chứng minh: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Đừng ngại học hỏi
Bạn sẽ giỏi!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), hbtoanag (08-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (08-01-2013), ---=--Sơn--=--- (28-05-2014)
  #30  
Cũ 08-01-2013, 00:41
Avatar của hbtoanag
hbtoanag hbtoanag đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Long Kiến, An Giang
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 16 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 376
Điểm: 98 / 5461
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 2166
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 295
Đã cảm ơn : 649
Được cảm ơn 810 lần trong 261 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thoheo Xem bài viết
Bài 5: Cho a,b,c >0 thỏa mãn $a + b + c = 3$.Tìm GTNN của:
$$P = \frac{{{a^4}}}{{\sqrt[3]{{{a^3} + 7}}}} + \frac{{{b^4}}}{{\sqrt[3]{{{b^3} + 7}}}} + \frac{{{c^4}}}{{\sqrt[3]{{{c^3} + 7}}}}$$
Ta có

$\frac{{{a}^{4}}}{\sqrt[3]{{{a}^{3}}+7}}=\frac{4{{a}^{4}}}{\sqrt[3]{8.8.({{a}^{3}}+7)}}\ge \frac{4{{a}^{4}}}{\frac{{{a}^{3}}+23}{3}}=\frac{12 {{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+23}$.

Hơn nữa,

$\frac{12{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+23}-\left( \frac{31}{16}a-\frac{23}{16} \right)=\frac{{{(a-1)}^{2}}(161{{a}^{2}}+345a+529)}{16({{a}^{3}}+23)} \ge 0$.

Suy ra

$\frac{{{a}^{4}}}{\sqrt[3]{{{a}^{3}}+7}}\ge \frac{12{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+23}\ge \frac{31}{16}a-\frac{23}{16}$.

Tương tự

$\frac{{{b}^{4}}}{\sqrt[3]{{{b}^{3}}+7}}\ge \frac{31}{16}b-\frac{23}{16}$ và $\frac{{{c}^{4}}}{\sqrt[3]{{{c}^{3}}+7}}\ge \frac{31}{16}c-\frac{23}{16}$.

Cộng theo vế các bất đẳng thức,

$\frac{{{a}^{4}}}{\sqrt[3]{{{a}^{3}}+7}}+\frac{{{b}^{4}}}{\sqrt[3]{{{b}^{3}}+7}}+\frac{{{c}^{4}}}{\sqrt[3]{{{c}^{3}}+7}}\ge \frac{31}{16}(a+b+c)-3.\frac{23}{16}=\frac{3}{2}$.

Vậy $\min P=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=1$.

Nguyên văn bởi Lang tu buon Xem bài viết
Bài 6.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{{{a}^{5}}}{{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}+\dfrac{{{ b}^{5}}}{{{c}^{3}}+{{a}^{3}}}+\dfrac{{{c}^{5}}}{{{ a}^{3}}+{{b}^{3}}}\ge \dfrac{3}{2}$$
Bổ đề $a{{b}^{3}}+b{{c}^{3}}+c{{a}^{3}}\le \frac{1}{3}{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}} $ (tự kiểm tra).

Ta có

$VT\ge \frac{{{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}^{2}}}{(a{{b}^{3}}+b{{c}^{3}}+c{{a}^{3}})+ (a{{c}^{3}}+c{{b}^{3}}+b{{a}^{3}})}\ge \frac{3{{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}^{2}}}{2{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})} ^{2}}}$.

Mặt khác

${{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}={{\left[ \sqrt{a}(a\sqrt{a})+\sqrt{b}(b\sqrt{b})+\sqrt{c}(c \sqrt{c}) \right]}^{2}}\le (a+b+c)({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})$.

Suy ra

$\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{ b}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{a+b+c}\ge \frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{3(a+b+c)}=1$.

Vậy ta có điều cần chứng minh.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (08-01-2013), Lưỡi Cưa (08-01-2013), Miền cát trắng (08-01-2013), nhatqny (08-01-2013)
  #31  
Cũ 08-01-2013, 03:57
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 4956
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lưỡi Cưa Xem bài viết
Bài 19. Cho các số thự dương $a, b, c$ thỏa mãn: $ a+b+c=3$. Chứng minh: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$$
Ta có:$$9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\to ac+bc+ab=\frac{9- (a^2+b^2+c^2)}{2}$$
Ta có BĐT cần chứng minh tương đương:$$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{ c}\geq 9$$\
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$$
$$b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 3a$$
$$c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 3a$$
Cộng lại ta có điều cần chứng minh. $\blacksquare$

Tổng quát : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng : $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq ab+bc+ac$
Chặt hơn tí : $$a^{k}+b^{k}+c^{k}-(ab+bc+ca) \ge \min \left \{0;\dfrac{3^{k}}{2^{k-1}}-\dfrac{9}{4} \right \}$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), crazygirl (09-08-2013), hbtoanag (09-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (08-01-2013), hthtb22 (08-01-2013), Lê Đình Mẫn (08-01-2013), Lưỡi Cưa (08-01-2013), nhatqny (09-01-2013)
  #32  
Cũ 09-01-2013, 00:51
Avatar của Lưỡi Cưa
Lưỡi Cưa Lưỡi Cưa đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Thanh Chương
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 24 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 584
Điểm: 241 / 8504
Kinh nghiệm: 37%

Thành viên thứ: 1972
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 723
Đã cảm ơn : 1.352
Được cảm ơn 1.145 lần trong 465 bài viết

Mặc định

Bài 20. Cho các số thự không âm $a, b, c$ sao cho $ a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $ b+c \geq 16abc$


Đừng ngại học hỏi
Bạn sẽ giỏi!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), hbtoanag (09-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (09-01-2013)
  #33  
Cũ 09-01-2013, 01:04
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 529
Điểm: 195 / 7957
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 585
Đã cảm ơn : 379
Được cảm ơn 1.758 lần trong 473 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lưỡi Cưa Xem bài viết
Bài 20. Cho các số thự không âm $a, b, c$ sao cho $ a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $ b+c \geq 16abc$
Ủng hộ bác Lưỡi Cưa một bài :
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có : $bc \le \left(\dfrac{b+c}{2} \right)^2$
Do đó : $16abc \le 16a \cdot \left(\dfrac{b+c}{2} \right)^2=4a(1-a)^2$
Lại có : $4a(1-a)^2=(1-a)4a(1-a)=(1-a)(4a-4a^2)=(1-a)[1-(2a-1)^2] \le 1-a$
Vậy ta có : $16abc \le 1-a =b+c.$
Bài toán được chứng minh xong.


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), hbtoanag (09-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (09-01-2013), NHPhuong (11-01-2013), Lưỡi Cưa (09-01-2013), Miền cát trắng (09-01-2013), nhatqny (09-01-2013)
  #34  
Cũ 09-01-2013, 01:58
Avatar của Lưỡi Cưa
Lưỡi Cưa Lưỡi Cưa đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Thanh Chương
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 24 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 584
Điểm: 241 / 8504
Kinh nghiệm: 37%

Thành viên thứ: 1972
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 723
Đã cảm ơn : 1.352
Được cảm ơn 1.145 lần trong 465 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi hthtb22 Xem bài viết
[B][COLOR="Magenta"]

Bài 9: Cho $a;b;c>1$. Chứng minh
$$a^{log_b^c}+b^{log_c^a}+c^{log_a^b} \ge 3\sqrt[3]{abc}$$

Áp dụng $AM - GM$: $$a^{\log _{b}c}+b^{\log _{c}a}=a^{\log _{b}c}+a^{\log _{c}b}\geq 2\sqrt{a^{\left(\log _{b}c+ \log _{b}c\right)}}$$
Lại theo $AM - GM$: $$\log _{b}c+\log _{c}b\geq 2\sqrt{\log _{b}c\log _{c}b}=2$$
Do đó: $$a^{\log _{b}c}+b^{\log _{c}a}\geq 2a$$.
Thiết lập tương tự, rồi cộng lại ta được: $VT\geq a+b+c$
Từ đó, thu được đpcm.


Đừng ngại học hỏi
Bạn sẽ giỏi!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), Inspectorgadget (09-01-2013), nhatqny (10-01-2013)
  #35  
Cũ 09-01-2013, 02:04
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 4956
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi hthtb22 Xem bài viết
Bài 13:
Cho $a;b;c>0;abc \ge 1$. Chứng minh
$\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\dfrac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2} \ge 0$
IMO 2005
Ta có đánh giá sau: $$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge \frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}$$
Thật vậy: $$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}- \frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{(x^3-1)^2x^2(y^2+z^2)}{x^3(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^2+z^2)}$$
Sử dụng đánh giá trên kết hợp $abc\ge 1$ ta có
$$\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\dfrac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2} \ge \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\sum\limits_{cyc}\left(x^2-\frac{1}{x} \right )\ge \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\sum\limits_{cyc}(x^2 -yz)\ge0$$
Vậy bài toán được chứng minh.

Tổng quát: Tổng quát: Cho số tự nhiên $n\ge 3$ và 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz\ge 1$. Chứng minh $$\frac{x^n-x^2}{x^n+z^2+y^2}+\frac{y^n-y^2}{y^n+z^2+x^2}+\frac{z^n-z^2}{z^n+x^2+y^2}\ge 0$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
bongbong (21-06-2013), hbtoanag (09-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (09-01-2013), Lưỡi Cưa (09-01-2013), nhatqny (10-01-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Bộ Giáo dục thay đổi phương thức xét tuyển đại học, cao đẳng FOR U Tin tức Giáo dục 24h 0 13-05-2016 09:47
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13
Sử dụng bất đẳng thức để giải bất phương trình hthtb22 [Tài liệu] Phương trình-BPT vô tỷ 4 10-04-2016 09:11



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$cauchy$, đẳng, bat dang thuc, bat dang thuc am gm, bat dang thuc am-gm, bất, bất đẳng thức am-gm, bất thức am - gm, cach van dung bat dang thuc am-gm, chứng, chứng minh (1 1/a)(1 1/b)(1 1/c) =64, chung minh (1 1/a)(1 1/b)(1 1/c) =64, chung minh bat dang thuc (1 1/a)(1 1/b)(1 1/c)>64, cm bat dang thuc am gm, dụng, http://k2pi.net/showthread.php?t=3094, k2pi.net, on thi, tai lieu on thi mon toan bat dang thuc gtln gtnn, thức, tim min p= a^2/((b c)^2 5bc), topic
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014