Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $ \Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2 \geq \dfrac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 02-01-2013, 08:13
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3375
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Lượt xem bài này: 1030
Mặc định Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $ \Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2 \geq \dfrac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $$ \Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2 \geq \dfrac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (02-01-2013), hbtoanag (02-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (02-01-2013)
  #2  
Cũ 02-01-2013, 20:54
Avatar của hbtoanag
hbtoanag hbtoanag đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Long Kiến, An Giang
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 16 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 376
Điểm: 98 / 5479
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 2166
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 295
Đã cảm ơn : 649
Được cảm ơn 810 lần trong 261 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $$ \Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2 \geq \dfrac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$
Ta có ${{(a+b+c)}^{2}}\ge 3(ab+bc+ca)$ hay $\frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ca}\ge 3$.
$VT\ge \frac{{{\left( 1+\frac{2a}{b}+1+\frac{2b}{c}+1+\frac{2c}{a} \right)}^{2}}}{3}=\frac{{{\left( 3+2\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \right)}^{2}}}{3}$.
Ngoài ra,
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{{{a}^{2 }}}{ab}+\frac{{{b}^{2}}}{bc}+\frac{{{c}^{2}}}{ca} \ge \frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ca}$.
Do đó,
$VT\ge \frac{{{\left( 3+2\frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ca} \right)}^{2}}}{3}=3+4\frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ ca}+\frac{4}{3}{{\left( \frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ca} \right)}^{2}}$.
Bất đẳng thức tương đương với $\frac{4}{3}{{\left( \frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ca} \right)}^{2}}-5\frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{ab+bc+ca}+3\ge 0$.
Hàm $f(t)=\frac{4}{3}{{t}^{2}}-5t+3$ đồng biến trên $[3;+\infty )$ nên $f(t)\ge f(3)=0,\forall t\ge 3$, nên bất đẳng thức trên đúng.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 6 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (31-01-2013), NHPhuong (02-01-2013), Lê Đình Mẫn (02-01-2013), Lưỡi Cưa (02-01-2013), Miền cát trắng (03-01-2013), nhatqny (02-01-2013)
  #3  
Cũ 03-01-2013, 14:39
Avatar của hthtb22
hthtb22 hthtb22 đang ẩn
$\mathscr{H.T.H}$
Đến từ: THPT Chuyên THái Bình
Nghề nghiệp: H/S
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 313
Điểm: 70 / 4543
Kinh nghiệm: 52%

Thành viên thứ: 2345
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 210
Đã cảm ơn : 138
Được cảm ơn 452 lần trong 150 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $$ \Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2 \geq \dfrac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$
Em có cách khác không động đến hàm số

Ta có:
$A=\Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2$
$A=\dfrac{(2a+b)^2\dfrac{b}{a}}{ab}+\dfrac{(2b+c)^ 2\dfrac{c}{b}}{bc}+\dfrac{(2c+a)^2\dfrac{c}{a}}{ca }$
Theo bất đẳng thức $Cauchy= Schwart$ ta có:
$A \ge \dfrac{[(2a+b)\sqrt{\dfrac{b}{a}}+(2b+c)\sqrt{\dfrac{c}{b} }+(2c+a)\sqrt{\dfrac{c}{a}}]^2}{ab+bc+ca}$

Như vậy ta phải chứng minh:
$ (2a+b)\sqrt{\dfrac{b}{a}}+(2b+c)\sqrt{\dfrac{c}{b} }+(2c+a)\sqrt{\dfrac{c}{a}} \ge 3(a+b+c)$ (1)
Đặt $x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}$ . (1) trở thành:
$2(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x})+x y+yz+zx \ge 3(x^2+y^2+z^2)$

Đây là bất đẳng thức đúng vì:
Theo $AM-GM$ ta có:
$\dfrac{x^3}{y}+xy \ge 2x^2$
Nên $\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}+xy+y z+zx \ge 2(x^2+y^2+z^2)$ (2)
Mặt khác $\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{x^3}{y}+y^2 \ge 3x^2$
Tướng tự cộng lại ta có:
$2(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x})+( x^2+y^2+z^2) \ge 3(x^2+y^2+z^2)$
$\Rightarrow \dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x} \ge x^2+y^2+z^2$ (3)
Cộng (2) với (3) chính là (1)
Chứng minh hoàn tất
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (03-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (31-01-2013), Lê Đình Mẫn (03-01-2013), Phạm Kim Chung (03-01-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$, $a, bc, bigg1, bigg2, c&gt0$, c>0$, c2ab, ca$, chứng, cho, dfrac2ab, dfrac2bc, dfrac2ca, dfrac9a, geq, minh, rằng
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014