Cho $x+y+z=3$.CMR:$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 29-12-2012, 18:28
Avatar của LeNhatDuy09
LeNhatDuy09 LeNhatDuy09 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán là mãi mãi
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 260
Điểm: 51 / 3812
Kinh nghiệm: 42%

Thành viên thứ: 1923
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 153
Đã cảm ơn : 87
Được cảm ơn 170 lần trong 57 bài viết

Lượt xem bài này: 1279
Mặc định Cho $x+y+z=3$.CMR:$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  LeNhatDuy09 
Lạnh Như Băng (06-06-2013)
  #2  
Cũ 29-12-2012, 20:33
Avatar của hthtb22
hthtb22 hthtb22 đang ẩn
$\mathscr{H.T.H}$
Đến từ: THPT Chuyên THái Bình
Nghề nghiệp: H/S
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 313
Điểm: 70 / 4546
Kinh nghiệm: 52%

Thành viên thứ: 2345
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 210
Đã cảm ơn : 138
Được cảm ơn 452 lần trong 150 bài viết

Mặc định

Dồn biến
Ta có: $f(x,y,z)-f(x, \frac{y+z}{2}, \frac{y+z}{2})= 3(y^2+z^2- \dfrac{(y+z)^2}{2}) +4x(yz - \dfrac{(y+z)^2}{4})$
$= \dfrac{3(y-z)^2}{2} -x(y-z)^2$
$= (y-z)^2 (\dfrac{3}{2}-x) \ge 0$ với $x\le y,z$
Vậy bây giờ chỉ cần chứng minh:
$f(x, \frac{3-x}{2}, \frac{3-x}{2}) \ge 0$
$\iff x^3- \dfrac{3x^2}{2}+ \dfrac{1}{2} \ge 0$
$\iff (x+\dfrac{1}{2})(x-1)^2 \ge 0$ đúng với vọi $x>0$
Xong

Click the image to open in full size.

Cách khác nhá
Không dồn biến nữa

Trước hết ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc$

Áp dụng có:
$(3-2a)(3-2b)(3-2c) \le abc$
$\Leftrightarrow 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ca)-8abc \le abc$
$\Leftrightarrow 6[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)] -9abc \le 27$
$\Leftrightarrow 2[3(a^2+b^2+c^2)+4abc] \ge 27-abc \ge 27-(\dfrac{a+b+c}{3})^3=26$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \ge 13$

Dấu = khi a=b=c=1


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lạnh Như Băng (06-06-2013), LeNhatDuy09 (30-12-2012)
  #3  
Cũ 06-06-2013, 19:55
Avatar của nthoangcute
nthoangcute nthoangcute đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Lớp 11 Toán 2
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 424
Điểm: 124 / 6006
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 4234
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 372
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 968 lần trong 274 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi LeNhatDuy09 Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$
Thêm cách nữa dùng Đi dép lê:
Tồn tại $(x-1)(y-1) \geq 0$
Suy ra $xy+1 \geq x+y$
Suy ra $$VT \geq 3 \left(\dfrac{(3-z)^2}{2}+z^2\right)+4z(3-z-1)=\dfrac{(z-1)^2}{2}+13 \geq 13$$


B kp sử dụng CASIO n thi Đại học
*
*
*
*


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  nthoangcute 
Lạnh Như Băng (06-06-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
4xyzge, giá trị nhỏ nhất của x2 y2 z2 4xyz, z3$cmr$3left
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014