$\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$ - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook  TRANG CHỦ giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook TÀI LIỆU MIỄN PHÍ giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook HỖ TRỢ GIẢI TOÁN giai toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook Upload-File giải toán, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook SIGN UP
 
toan, toan online, giai toan tren mang, ioe toan, tin, đại học, diem thi, down ebook   K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen THẢO LUẬN TOÁN THPT QUỐC GIA toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen Đại số luyện thi Đại học toan thpt, tai lieu, de thi, hoc truc tuyen Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 29-04-2016, 06:55
Avatar của Katyusha
Katyusha Katyusha đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 155
Điểm: 23 / 1951
Kinh nghiệm: 21%

Thành viên thứ: 1801
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 69
Đã cảm ơn : 38
Được cảm ơn 16 lần trong 12 bài viết

Lượt xem bài này: 209
Mặc định $\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh

$\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 29-04-2016, 07:50
Avatar của docton274
docton274 docton274 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 161
Điểm: 24 / 616
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 51112
 
Tham gia ngày: Dec 2015
Bài gửi: 73
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 5 lần trong 5 bài viết

Mặc định Re: $\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$

$$$\frac{2a}{a^{2}+1}+\frac{2b}{b^{2}+1}=\frac{2(a +b)(ab+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}\leq \frac{2(a+b)}{ab+1}$$
$\frac{2a}{a^{2}+1}+\frac{2b}{b^{2}+1}=\frac{2(a+b )(ab+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}=\frac{2(a+b)(ab+1)}{( a+c)(b+c)(a+b)^{2}}=\frac{2(ab+1)}{(a+c)(b+c)(a+b) }$
$\Rightarrow \frac{2a}{a^{2}+1}+\frac{2b}{b^{2}+1}\leq \sqrt{\frac{2(a+b)}{ab+1}.\frac{2(ab+1)}{(a+b)(a+c )(b+c)}}=\frac{2}{\sqrt{c^{2}+1}}$
$\Rightarrow VT\leq \frac{2}{\sqrt{c^{2}+1}}+1-\frac{2}{c^{2}+1}=-2(\frac{1}{\sqrt{c^{2}+1}}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}(dpcm)$
Dấu"=" xảy ra khi:$a=b=2-\sqrt{3};c=\sqrt{3}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 29-04-2016, 13:10
Avatar của Trần Quốc Việt
Trần Quốc Việt Trần Quốc Việt đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Nạn Đói 45
 
Cấp bậc: 40 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 293 / 978
Điểm: 828 / 6866
Kinh nghiệm: 13%

Thành viên thứ: 29146
 
Tham gia ngày: Nov 2014
Bài gửi: 2.484
Đã cảm ơn : 488
Được cảm ơn 2.363 lần trong 1.092 bài viết

Mặc định Re: $\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$

Nguyên văn bởi Katyusha Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh

$\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$
Hoặc lượng giác hóa

Đặt $a=\tan \dfrac{A}{2},\ b=\tan \dfrac{B}{2},\ c=\tan \dfrac{C}{2}$ thì từ giả thiết suy ra $A+B+C=180^0$ nên coi $A,B,C$ là ba góc của tam giác $ABC$

Biểu thức $P$ $=\sin A+\sin B-\cos C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\cos ^{2}\frac{C}{2}\\
\leqslant 2\cos \frac{C}{2}+1-2 \cos ^{2} \frac{C}{2}=\frac{3}{2}-2\left(\cos \frac{C}{2}-\frac{1}{2} \right)^{2}\leqslant \frac{3}{2}$


Trần Quốc Việt


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Katyusha (29-04-2016), Lương Tịnh (04-05-2016)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
\frac{c^2-1}{c^2+1}
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI-TOÁN THPT THÁNG 12.2011
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014