[Bất đẳng thức_LDM03] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán. - Trang 2 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #8  
Cũ 22-01-2016, 00:33
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13453
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Tổng quát:

Cho $a,b,c$ là các số dương tùy ý và $m,n,p$ dương cho trước. Trong điều kiện nào của $m,n,p$ thì biểu thức sau tồn tại giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
$$M = \frac{x}{{x + mz}} + \frac{y}{{y + mz}} + \frac{{n\left( {{z^2} - pxy} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Man of Steel. (21-04-2016), Trần Quốc Việt (22-01-2016)
  #9  
Cũ 22-01-2016, 09:03
Avatar của duyanh175
duyanh175 duyanh175 đang ẩn
Chiếc lá cuối cùng
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 551
Điểm: 212 / 7152
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 14906
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 638
Đã cảm ơn : 483
Được cảm ơn 1.023 lần trong 461 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Nguyên văn bởi Phạm Kim Chung Xem bài viết
1) Cái mà Mẫn đặt vấn đề là điều mình cũng đang quan tâm.
2) Cách làm của duyanh175 là rất hay. Bữa trước mình chép nhầm đề, sau đó dẫn đến việc khảo sát từng biến theo cách đặt $ x=az; y=bz$ (Cách đặt này hoàn toàn như cách đặt của duyanh175 nhưng rất phức tạp khi sử dụng đạo hàm.
3) Liệu duyanh175 giúp mình giải quyết trọn vẹn bài này chăng ?

Cho $a,b,c$ là các số dương và $k\ge 1$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{x}{{x + 2z}} + \frac{y}{{y + 2z}} + \frac{{2\left( {{z^2} - k.xy} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}},\,\,k \ge 1$

Thank !
Bằng cách đặt như trên và khảo sát hàm số , ta có kết luận sau:

1./ TH 1: $k\geq 8$ bài toán không có GTNN.

1./ TH 2: $1\leq k<8$ bài toán có GTNN và GTNN phụ thuộc vào nghiệm Pt sau:
$$\left(8-k \right)t^{3}-4\left(2k-5 \right)t^{2}-8\left(2k+1 \right)t-56=0 , \left(t>0 \right)$$

.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #10  
Cũ 22-01-2016, 09:30
Avatar của Phạm Kim Chung
Phạm Kim Chung Phạm Kim Chung đang ẩn
Sáng lập: K2pi -Toán THPT
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: GV THPT
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 826
Điểm: 540 / 14432
Kinh nghiệm: 7%

Thành viên thứ: 1
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gửi: 1.622
Đã cảm ơn : 1.856
Được cảm ơn 6.045 lần trong 1.180 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Bằng cách đặt như trên và khảo sát hàm số , ta có kết luận sau:

1./ TH 1: $k\geq 8$ bài toán không có GTNN.

1./ TH 2: $1\leq k<8$ bài toán có GTNN và GTNN phụ thuộc vào nghiệm Pt sau:
$$\left(8-k \right)t^{3}-4\left(2k-5 \right)t^{2}-8\left(2k+1 \right)t-56=0 , \left(t>0 \right)$$

.
+Xem $P=f(s)$ có đạo hàm cùng dấu với : $-s^{2}+\alpha s+\beta $
Mình vẫn đang băn khoăn chỗ hàm số. Duy Anh có thể chi tiết lời giải 1 bài trong số các bài của thầy Mẫn không ?


Never study to be successful, study for self efficiency. Don’t run behind success. Follow behind excellence, success will come all way behind you.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #11  
Cũ 22-01-2016, 10:13
Avatar của duyanh175
duyanh175 duyanh175 đang ẩn
Chiếc lá cuối cùng
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 551
Điểm: 212 / 7152
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 14906
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 638
Đã cảm ơn : 483
Được cảm ơn 1.023 lần trong 461 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Nguyên văn bởi Phạm Kim Chung Xem bài viết
Mình vẫn đang băn khoăn chỗ hàm số. Duy Anh có thể chi tiết lời giải 1 bài trong số các bài của thầy Mẫn không ?
k=4 : $P=\frac{x}{x+2z}+\frac{y}{y+2z}+\frac{2\left(z^{2 }-4xy \right)}{\left(x+y+z \right)^{2}}\Rightarrow \frac{P}{2}=\frac{xy+z(x+y)}{xy+2z(x+y)+4z^{2}}+
\frac{z^{2}-4xy}{\left(x+y+z \right)^{2}}$


Đặt : $\frac{x+y}{z}=t,\frac{xy}{z^{2}}=s , \left(0<s\leq \frac{t^{2}}{4} \right)$


Ta có : $\frac{P}{2}=f(s)=\frac{s+t}{s+2t+4}+\frac{1-4s}{\left(t+1 \right)^{2}}\Rightarrow f'(s)=\frac{t+4}{\left(s+2t+4 \right)^{2}}-\frac{4}{\left(t+1 \right)^{2}}$


$\Rightarrow f'(s)$ cùng dấu với : $-4\left(s+2t+4 \right)^{2}+(t+4)(t+1)^{2}$


Lại có : $f(0)-f\left(\frac{t^{2}}{4} \right)=\frac{t^{2}\left(t^{2}+4t+7 \right)}{2(t+2)(t+4)(t+1)^{2}}>0$


Suy ra : $\frac{P}{2}\geq f\left(\frac{t^{2}}{4} \right)=\frac{t}{t+4}+\frac{1-t^{2}}{\left(t+1 \right)^{2}}=F(t)$


$F'(t)=\frac{4}{(t+4)^{2}}-\frac{2}{(t+1)^{2}}=0\Leftrightarrow t=2+3\sqrt{2}$


Từ BBT của $F(t)$ suy ra $F_{min}=F(3\sqrt{2}+2)=\frac{4\sqrt{2}-6}{3}$


Tóm lại : $P_{min}=\frac{8\sqrt{2}-12}{3} . Khi : x=y=z\left(1+\frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$.

.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Black Hole (22-01-2016), Lê Đình Mẫn (22-01-2016), Phạm Kim Chung (22-01-2016), thái bình (22-01-2016)
  #12  
Cũ 22-01-2016, 11:03
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13453
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Tổng quát:

Cho $a,b,c$ là các số dương tùy ý và $m,n,p$ dương cho trước. Trong điều kiện nào của $m,n,p$ thì biểu thức sau tồn tại giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
$$M = \frac{x}{{x + mz}} + \frac{y}{{y + mz}} + \frac{{n\left( {{z^2} - pxy} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}$$
Bài toán có giá trị nhỏ nhất khi $m,n,p$ thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
$8m>np$ và phương trình $(8m-np)x^3-2m(6+np)x^2+m(6-mnp)x-m=0$ có ít nhất nhất một nghiệm dương không phải nghiệm bội.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Black Hole (22-01-2016), Man of Steel. (14-02-2016)
  #13  
Cũ 22-01-2016, 15:51
Avatar của Phạm Kim Chung
Phạm Kim Chung Phạm Kim Chung đang ẩn
Sáng lập: K2pi -Toán THPT
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: GV THPT
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 826
Điểm: 540 / 14432
Kinh nghiệm: 7%

Thành viên thứ: 1
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gửi: 1.622
Đã cảm ơn : 1.856
Được cảm ơn 6.045 lần trong 1.180 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
k=4 : $P=\frac{x}{x+2z}+\frac{y}{y+2z}+\frac{2\left(z^{2 }-4xy \right)}{\left(x+y+z \right)^{2}}\Rightarrow \frac{P}{2}=\frac{xy+z(x+y)}{xy+2z(x+y)+4z^{2}}+
\frac{z^{2}-4xy}{\left(x+y+z \right)^{2}}$


Đặt : $\frac{x+y}{z}=t,\frac{xy}{z^{2}}=s , \left(0<s\leq \frac{t^{2}}{4} \right)$


Ta có : $\frac{P}{2}=f(s)=\frac{s+t}{s+2t+4}+\frac{1-4s}{\left(t+1 \right)^{2}}\Rightarrow f'(s)=\frac{t+4}{\left(s+2t+4 \right)^{2}}-\frac{4}{\left(t+1 \right)^{2}}$


$\Rightarrow f'(s)$ cùng dấu với : $-4\left(s+2t+4 \right)^{2}+(t+4)(t+1)^{2}$


Lại có : $f(0)-f\left(\frac{t^{2}}{4} \right)=\frac{t^{2}\left(t^{2}+4t+7 \right)}{2(t+2)(t+4)(t+1)^{2}}>0$


Suy ra : $\frac{P}{2}\geq f\left(\frac{t^{2}}{4} \right)=\frac{t}{t+4}+\frac{1-t^{2}}{\left(t+1 \right)^{2}}=F(t)$



$F'(t)=\frac{4}{(t+4)^{2}}-\frac{2}{(t+1)^{2}}=0\Leftrightarrow t=2+3\sqrt{2}$


Từ BBT của $F(t)$ suy ra $F_{min}=F(3\sqrt{2}+2)=\frac{5\sqrt{2}-6}{6}$


Tóm lại : $P_{min}=\frac{5\sqrt{2}-6}{3} . Khi : x=y=z\left(1+\frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$.

.
Mình nhận thấy chỗ màu đỏ đang bất ổn !

Lần trước mình cũng bị vấp khi đi theo con đường này !

Cụ thể:

Xét hàm số \[f\left( b \right) = \frac{{2b + 2a}}{{b + \left( {2a + 4} \right)}} + \frac{{2\left( {1 - 4b} \right)}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}},\,\,b \in \left( {0;\,\frac{{{a^2}}}{4}} \right]\]

có $f'\left( b \right) = \frac{{2a + 8}}{{{{\left( {b + 2a + 4} \right)}^2}}} - \frac{8}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}$

Do đó $f'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow - 8{\left( {b + 2a + 4} \right)^2} + {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {2a + 8} \right) = 0\,$

Lại xét hàm số $g\left( b \right) = - 8{\left( {b + 2a + 4} \right)^2} + {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {2a + 8} \right)$

có $g'\left( b \right) = - 16b - 16\left( {2a + 4} \right) < 0,\,\,\forall b \in \left( {0;\,\frac{{{a^2}}}{4}} \right],\,\,a > 0.$

$ \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]} g\left( b \right) = g\left( 0 \right) = {a^3} - 22{a^2} - 111a - 120$

Như vậy để chứng minh $f'\left( b \right) < 0,\,\forall b \in \left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]$ ta cần chứng minh $g\left( b \right) \le \mathop {max}\limits_{\left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]} g\left( b \right) < 0,\,\forall b \in \left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]$

Điều này bất ổn Duy Anh !


Never study to be successful, study for self efficiency. Don’t run behind success. Follow behind excellence, success will come all way behind you.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Phạm Kim Chung 
Lê Đình Mẫn (22-01-2016)
  #14  
Cũ 22-01-2016, 16:06
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13453
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: [Bất đẳng thức] Rèn luyện kĩ năng tư duy qua năm bài toán.

Nguyên văn bởi Phạm Kim Chung Xem bài viết
Mình nhận thấy chỗ màu đỏ đang bất ổn !

Lần trước mình cũng bị vấp khi đi theo con đường này !

Cụ thể:

Xét hàm số \[f\left( b \right) = \frac{{2b + 2a}}{{b + \left( {2a + 4} \right)}} + \frac{{2\left( {1 - 4b} \right)}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}},\,\,b \in \left( {0;\,\frac{{{a^2}}}{4}} \right]\]

có $f'\left( b \right) = \frac{{2a + 8}}{{{{\left( {b + 2a + 4} \right)}^2}}} - \frac{8}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}$

Do đó $f'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow - 8{\left( {b + 2a + 4} \right)^2} + {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {2a + 8} \right) = 0\,$

Lại xét hàm số $g\left( b \right) = - 8{\left( {b + 2a + 4} \right)^2} + {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {2a + 8} \right)$

có $g'\left( b \right) = - 16b - 16\left( {2a + 4} \right) < 0,\,\,\forall b \in \left( {0;\,\frac{{{a^2}}}{4}} \right],\,\,a > 0.$

$ \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]} g\left( b \right) = g\left( 0 \right) = {a^3} - 22{a^2} - 111a - 120$

Như vậy để chứng minh $f'\left( b \right) < 0,\,\forall b \in \left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]$ ta cần chứng minh $g\left( b \right) \le \mathop {max}\limits_{\left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]} g\left( b \right) < 0,\,\forall b \in \left( {0;\frac{{{a^2}}}{4}} \right]$

Điều này bất ổn Duy Anh !
Nhìn lại thấy chỗ đỏ đã ngộ nhận rồi. :) Tham khảo cách dùng $AM-GM$ này nhé:
TH $m=n=2,k=1$: Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$\begin{aligned}P&\ge \dfrac{(x+y)^2}{(x+y)^2+2z(x+y)-2xy}+ \dfrac{2(z^2-xy)}{(x+y+z)^2}\\
&= \dfrac{(x+y)^2}{(x+y)^2+2z(x+y)-2xy}+ \dfrac{(x+y)^2+2z(x+y)-2xy}{(x+y+z)^2}+ \dfrac{2z^2-(x+y)^2-2z(x+y)}{(x+y+z)^2}\\
&\ge \dfrac{2(x+y)}{x+y+z}+ \dfrac{2z^2-(x+y)^2-2z(x+y)}{(x+y+z)^2}\ge \dfrac{2}{3}\end{aligned}$$
Tóm lại $\min P= \dfrac{2}{3}$ khi $a=b=c$.
Các bài còn lại giải tương tự.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Phạm Kim Chung (22-01-2016), theoanm (22-01-2016)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014