[Chia sẽ nhỏ] Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1.$ Tìm GTNN của biểu thức: $P=2a^3+3b^2+2c$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-12-2012, 18:44
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13487
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Lượt xem bài này: 2858
Mặc định [Chia sẽ nhỏ] Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1.$ Tìm GTNN của biểu thức: $P=2a^3+3b^2+2c$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1.$ Tìm GTNN của biểu thức: \[P=2a^3+3b^2+2c\]
letrungtin
Đây là lời lý giải đơn giản nhất mà theo tôi là một kinh nghiệm bổ ích cho các bạn. Ở đây, để cho đơn giản tôi không hề đụng chạm tới những kiến thức hàm ngoài chương trình phổ thông. Vì thế, mong các bạn đừng hỏi tại sao lại làm như vậy. Tôi lấy ví dụ trên làm bài mẫu nhé.
Đầu tiên, ta thay một biến, chẳng hạn $c=1-a-b$ vào biểu thức $P$. Khi đó
\[P=(2a^3-2a)+(3b^2-2b)+2\]
Tôi đã tách biểu thức $P$ thành tổng các đa thức đơn biến riêng biệt $a,\ b$. Tức là $P=f(a)+g(b)+2.$
Bây giờ, làm thế nào để đoán được điểm rơi. Các bạn lưu ý điều này: "Một hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi $x_0$ là nghiệm của $f'(x)=0$."
Các hàm số $f(a),g(b)$ đều độc lập nên ta có thể vận dụng tính chất này của hàm số để dự đoán điểm rơi như sau:
+ Giải các phương trình
$f'(a)=0\iff 6a^2-2=0\iff a= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{ hoặc }a=- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{(loại) vì}a\ge 0.$
$g'(b)=0\iff 6b-2=0\iff b= \dfrac{1}{3}.$
Hai giá trị $a= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và $b= \dfrac{1}{3}$ chính là điểm rơi cần tìm.
+ Bây giờ, ta sẽ tính
$$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = - \dfrac{4\sqrt{3}}{9},\qquad g\left( \dfrac{1}{3}\right) = - \dfrac{1}{3}$$
+ Mà ta thấy rằng với $a,\ b\ge 0$ thì
$f(a)\ge - \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\Rightarrow f(a)+ \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\ge 0$ và $g(b) \ge - \dfrac{1}{3}\Rightarrow g(b)+ \dfrac{1}{3}\ge 0.$
Như vậy, ta có sự phân tích
\[\begin{aligned}P&=(2a^3-2a+ \dfrac{4\sqrt{3}}{9})+(3b^2-2b+ \dfrac{1}{3})+2- \dfrac{4\sqrt{3}}{9}- \dfrac{1}{3}\\
&=\left(a- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\left(2a+ \dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)+ 3\left(b- \dfrac{1}{3}\right)^2+ \dfrac{15-4\sqrt{3}}{9}\ge \dfrac{15-4\sqrt{3}}{9}\end{aligned}\]
Một ví dụ cho các bạn luyện tập:
http://k2pi.net.vn/showthread.php?t=...va-gtln-neu-co

Thân!


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 27 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ashin_xman (07-06-2013), blackmetal (13-05-2013), Cô Bé Gió Sương (18-12-2012), cuclac (01-07-2013), harrypham (01-05-2013), Haruki (03-06-2013), Hà Nguyễn (18-12-2012), Hiệp sỹ bóng đêm (17-01-2013), huyenthuc (21-06-2013), kiemro721119 (12-05-2013), lêmaikhanh (03-06-2013), LeNhatDuy09 (18-12-2012), loc24 (03-02-2013), Mạnh (18-12-2012), Miền cát trắng (18-12-2012), MS2M (15-05-2013), Nắng vàng (27-01-2013), nhatqny (19-12-2012), phantra81 (01-05-2013), Phạm Kim Chung (18-12-2012), Sv_ĐhY_013 (10-03-2013), taitueltv (26-03-2013), Tiết Khánh Duy (02-07-2013), tkvn159 (12-05-2013), Tuấn Anh Eagles (03-03-2013), tungthanhphan (06-06-2013), wakeup (01-05-2013)
  #2  
Cũ 18-12-2012, 20:19
Avatar của NHPhuong
NHPhuong NHPhuong đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 224
Điểm: 40 / 3373
Kinh nghiệm: 96%

Thành viên thứ: 988
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 120
Đã cảm ơn : 495
Được cảm ơn 448 lần trong 110 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi ledinhmanqb Xem bài viết
Đây là lời lý giải đơn giản nhất mà theo tôi là một kinh nghiệm bổ ích cho các bạn. Ở đây, để cho đơn giản tôi không hề đụng chạm tới những kiến thức hàm ngoài chương trình phổ thông. Vì thế, mong các bạn đừng hỏi tại sao lại làm như vậy. Tôi lấy ví dụ trên làm bài mẫu nhé.
Đầu tiên, ta thay một biến, chẳng hạn $c=1-a-b$ vào biểu thức $P$. Khi đó
\[P=(2a^3-2a)+(3b^2-2b)+2\]
Tôi đã tách biểu thức $P$ thành tổng các đa thức đơn biến riêng biệt $a,\ b$. Tức là $P=f(a)+g(b)+2.$
Bây giờ, làm thế nào để đoán được điểm rơi. Các bạn lưu ý điều này: "Một hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi $x_0$ là nghiệm của $f'(x)=0$."
Các hàm số $f(a),g(b)$ đều độc lập nên ta có thể vận dụng tính chất này của hàm số để dự đoán điểm rơi như sau:
+ Giải các phương trình
$f'(a)=0\iff 6a^2-2=0\iff a= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{ hoặc }a=- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{(loại) vì}a\ge 0.$
$g'(b)=0\iff 6b-2=0\iff b= \dfrac{1}{3}.$
Hai giá trị $a= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và $b= \dfrac{1}{3}$ chính là điểm rơi cần tìm.
+ Bây giờ, ta sẽ tính
$$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = - \dfrac{4\sqrt{3}}{9},\qquad g\left( \dfrac{1}{3}\right) = - \dfrac{1}{3}$$
+ Mà ta thấy rằng với $a,\ b\ge 0$ thì
$f(a)\ge - \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\Rightarrow f(a)+ \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\ge 0$ và $g(b) \ge - \dfrac{1}{3}\Rightarrow g(b)+ \dfrac{1}{3}\ge 0.$
Như vậy, ta có sự phân tích
\[\begin{aligned}P&=(2a^3-2a+ \dfrac{4\sqrt{3}}{9})+(3b^2-2b+ \dfrac{1}{3})+2- \dfrac{4\sqrt{3}}{9}- \dfrac{1}{3}\\
&=\left(a- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\left(2a+ \dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)+ 3\left(b- \dfrac{1}{3}\right)^2+ \dfrac{15-4\sqrt{3}}{9}\ge \dfrac{15-4\sqrt{3}}{9}\end{aligned}\]
Một ví dụ cho các bạn luyện tập:
http://k2pi.net.vn/showthread.php?t=...va-gtln-neu-co

Thân!

Mình xin góp ý tí nha.

Nếu điểm rơi $a=a_o \in[0;1], b=b_o \in[0;1]$ mà $a_o+b_o >1$ thì sao nhỉ.

Ta có $a+b=1-c \le 1 \Rightarrow b \le 1-a \Rightarrow a, b$ phụ thuộc với nhau nên vấn đề xét hai biến độc lập như vậy là không khả thi.

Trong trường hợp bài toán này vô tình $a_o,b_o \in[0;1], a_o+b_o \le 1$ nên cách giải trên không ảnh hưởng gì cả.

Đây là dạng BĐT hay và có tính thực tiễn trong kì thi Đại Học.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  NHPhuong 
Mạnh (19-12-2012)
  #3  
Cũ 18-12-2012, 20:28
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13487
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi khanhtoanlihoa Xem bài viết
Mình xin góp ý tí nha.

Nếu điểm rơi $a=a_o \in[0;1], b=b_o \in[0;1]$ mà $a_o+b_o >1$ thì sao nhỉ.

Mình thấy $a,b$ cũng phụ thuộc với nhau nên vấn đề xét hai biến độc lập như vậy là không khả thi.

Trong trường hợp bài toán này vô tình $a_o,b_o \in[0;1], a_o+b_o \le 1$ nên cách giải trên không ảnh hưởng gì cả.

Đây là dạng BĐT hay và có tính thực tiễn trong kì thi Đại Học.
Trường hợp đó tôi cũng đã tính đến rồi. Trong trường hợp ấy, có thể dùng PP hệ số bất định để bằng $AM-GM$. Ta có thể đưa được về dạng:
\[P\ge k(a+b+c)+q\ge k+q\]
Hoặc cũng tùy vào điều kiện ràng buộc của giả thiết bài toán, ta có thể linh hoạt chút xíu. Ví dụ như:
Nguyên văn bởi letrungtin Xem bài viết
Bây giờ ta thay đổi điều kiện tí nha:
Cho $a,b,c\geq -1$ và $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức
\[P=2a^3+3b^2+c\]
Đặt $a=x-1,\ b=y-1,\ c=z-1$. Khi đó $x,y,z\ge 0,\ x+y+z=4$ và
\[P=x(2x^2-6x+5)+3\left(y- \dfrac{7}{6}\right)^2- \dfrac{1}{12}\ge - \dfrac{1}{12}\]
Vậy $\min P= - \dfrac{1}{12}$ khi $x=0,y= \dfrac{7}{6},z= \dfrac{17}{6}$ hay $a=-1,b= \dfrac{1}{6},c= \dfrac{11}{6}.$

Trên đây chỉ là một chia sẽ kinh nghiệm nhỏ thôi. Tất nhiên nó có sự giới hạn phạm vi. Nói chung không có phương pháp nào hoàn hảo cả. Đúng không bạn!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ashin_xman (07-06-2013), Hà Nguyễn (03-06-2013), NHPhuong (18-12-2012), Mạnh (19-12-2012), Tuấn Anh Eagles (03-03-2013)
  #4  
Cũ 18-12-2012, 20:50
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7040
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Mặc định

Tôi đồng ý với Thầy Mẫn không có phương pháp nào hoàn hảo để giải các bài toán bất đẳng thức. Vấn đề để làm được nó là cả một quá trình tìm tòi, đặc biệt nhất là ý tưởng của chúng ta. Ví dụ như bài này "Cho $a,b,c\geq -1$ và $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức
\[P=2a^3+3b^2+c\]"

Ý tưởng ở đây là mình đưa về một biến:
Ta có:
\[3b^2+\frac{1}{12}\geq b\]
Do đó:
\[P\geq 2a^3-a+1-\frac{1}{12}=f(a)\]


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (02-02-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (31-03-2013), Lê Đình Mẫn (18-12-2012), loc24 (03-02-2013), Mạnh (19-12-2012), nhatqny (19-12-2012), taitueltv (26-03-2013), Tuấn Anh Eagles (03-03-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm GTNN biểu thức : $$P=\frac{a}{b^3+c^3}+\frac{b}{c^3+a^3}-\frac{9}{a+b+2c+2}$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 3 30-05-2016 11:43
Tìm GTNN biểu thức : $$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c ^2+a^2}+\frac{6}{a^2+b^2+c^2}$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 3 24-05-2016 21:25
Tìm GTNN biểu thức : $$P=\sqrt{a+3b+4}+\sqrt{a+3c+4}.$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 3 19-05-2016 20:46
Cho các số thực dương $a, b, c$. Tìm GTNN của biểu thức. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 1 16-05-2016 13:10
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{ c}{a})=6$ Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab }{c(2a+b)}$ dolaemon Bất đẳng thức - Cực trị 3 05-05-2016 23:15



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $p2a3, 2c$, 3b2, âm, biểu, c$, c1$, các, của, chia, cho, gtnn, không, , nhỏ, sẽ, số, tìm, thỏa, thức, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014