Đấu trường Bất Đẳng Thức chào mừng Giáng Sinh và Năm Mới 2013 - Trang 2 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #5  
Cũ 23-12-2012, 23:03
Avatar của Hà Nguyễn
Hà Nguyễn Hà Nguyễn đang ẩn
Những Đêm Lặng Câm :)
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 563
Điểm: 223 / 8519
Kinh nghiệm: 55%

Thành viên thứ: 858
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 669
Đã cảm ơn : 3.234
Được cảm ơn 1.352 lần trong 441 bài viết

Mặc định

[QUOTE=Con phố quen;6438]Đề ra

Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $c(a^2+b^2)= \dfrac{21}{12}-a^2b^2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:$$A= a^4+c^2+b^4- \dfrac{17}{36}a^2b^2$$

Giải:
Ta có: $\dfrac{21}{12} \leq c(a^2+b^2)+\dfrac{(a^2+b^2)^2}{4}$
Đặt $t=a^2+b^2 \Rightarrow c \geq \dfrac{7-t^2}{4t} \Rightarrow c^2 \geq \dfrac{49}{16t^2}+\dfrac{t^2}{16}-\dfrac{7}{8}$
Khi đó : $ P \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}- \dfrac{17}{36} \dfrac{(a^2+b^2)^2}{4} +c^2 \geq \dfrac{4t^2}{9}+\dfrac{49}{16t^2}-\dfrac{7}{8}$
Xét hàm $f(u) = \dfrac{4u}{9}+\dfrac{49}{16u}-\dfrac{7}{8}$
$f'(u) = \dfrac{4}{9}-\dfrac{49}{16u^2} =0 \Leftrightarrow u=\dfrac{21}{8} $
Lập BBT ta có: $min f(u)= \dfrac{35}{24}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Không đủ đẹp để ai cũng phải yêu
Không đủ cao để nổi bật giữa mọi người
Chẳng đủ ngọt ngào làm siêu lòng người khác
Nhưng đủ tự tin để yêu bằng trái tim !. :)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
dzitxiem (23-12-2012), NHPhuong (23-12-2012), kienqb (23-12-2012), nhatqny (24-12-2012)
  #6  
Cũ 23-12-2012, 23:34
Avatar của thiencuong_96
thiencuong_96 thiencuong_96 đang ẩn
$ \text{Siêu Ẩu}$
Đến từ: Bình Phước
Nghề nghiệp: học sinh
Sở thích: Bay
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 173
Điểm: 27 / 2569
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 1373
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 81
Đã cảm ơn : 49
Được cảm ơn 185 lần trong 56 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Con phố quen Xem bài viết
Đề ra


Bài 2. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\dfrac{1}{(x+1)^2\sqrt{y^2+z^2}}+ \dfrac{1}{(y+1)^2\sqrt{z^2+x^2}}+\dfrac{1}{(z+1)^2 \sqrt{x^2+y^2}}$$
Ta luôn có : $x^{2}+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$
Nên bất đẳng thức đã cho trở thành :
$P\leq \frac{\sqrt{2}}{(x+1)^2.(y+z)}+\frac{\sqrt{2}}{(y+ 1)^2.(x+z)}+\frac{\sqrt{2}}{(z+1)^2.(y+x)}$
Do có $xyz=1$
Đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2\Rightarrow abc=1$
Viết lại :
$\frac{P}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{(a^2+1)^2.(b^2+c^2)}+\frac{1}{(b^2+1)^2.( a^2+c^2)}+\frac{1}{(c^2+1)^2.(a^2+b^2)}$
Mà theo $C-S$ ta có
$\sqrt{(a^2+1)(b^2+c^2)}\geq ab+c= \frac{1}{c}+c=\frac{c^2+1}{c}$

$\sqrt{(1+a^2)(b^2+c^2)}\geq b+ac= \frac{1}{b}+b=\frac{b^2+1}{b}$
$\Rightarrow (a^2+1)(b^2+c^2)\geq \frac{(b^2+1)(c^2+1)}{bc}$
Nên viết lại bất đẳng thức như sau :
$\sum \frac{1}{(a^2+1)^2.(b^2+c^2)}\leq \sum \frac{bc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$
Nhận thấy dấu bằng xãy ra khi $x=y=z=1~hay~a=b=c=1$ nên cần chứng minh ( hoặc là chứng minh nó luôn đúng là được )
$\sum \frac{bc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \frac{3}{8}$
Hay
$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ca)$
Chú ý :
$\sqrt{(a^2+1).(b^2+1)}\geq a+b\\
\Rightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$
Mà có $1=abc\leq \frac{\left (a+b+c \right )^3}{27}\Rightarrow a+b+c\geqslant 3\\
\Rightarrow \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ca)$
Vậy nên cần chứng minh :
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ ( BĐT quen thuộc )
Vậy $P\leq \frac{3\sqrt{2}}{8}$ khi $x=y=z=1$


Lê Thiên Cương


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (23-12-2012), huyenthuc (13-04-2013), Inspectorgadget (23-12-2012), NHPhuong (23-12-2012), kienqb (23-12-2012), Miền cát trắng (24-12-2012), nhatqny (24-12-2012)
  #7  
Cũ 24-12-2012, 01:07
Avatar của Phạm Kim Chung
Phạm Kim Chung Phạm Kim Chung đang ẩn
Sáng lập: K2pi -Toán THPT
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: GV THPT
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 829
Điểm: 544 / 14506
Kinh nghiệm: 16%

Thành viên thứ: 1
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gửi: 1.632
Đã cảm ơn : 1.861
Được cảm ơn 6.065 lần trong 1.187 bài viết

Mặc định

Nhờ 3 tác giả :
Anh Con phố quen, thầy Nguyễn Trung Kiên, thầy Lê Đình Mẫn chấm hộ với ạ !


Never study to be successful, study for self efficiency. Don’t run behind success. Follow behind excellence, success will come all way behind you.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #8  
Cũ 24-12-2012, 01:22
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 529
Điểm: 195 / 7982
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 585
Đã cảm ơn : 379
Được cảm ơn 1.758 lần trong 473 bài viết

Mặc định

Vậy là đấu trường bất đẳng thức đã hết thời hạn làm bài. Chắc có lẻ do lệch buổi cùng với bất đẳng thức là mãng kiến thức khá khó nên đấu trường lần này chỉ nhận được bốn lời giải của của bốn toán thủ.
Đối với toán thủ dzitxiem
Nguyên văn bởi dzitxiem Xem bài viết
Bài làm :
Từ giả thiết ta có $$c = \frac{21-12a^2b^2}{12(a^2+b^2)} \ge \frac{21-3(a^2+b^2)^2}{12(a^2+b^2)}.$$Vì $c>0$ nên $$\frac{21-3(a^2+b^2)^2}{12(a^2+b^2)}>0 \Leftrightarrow (a^2+b^2)^2 <7.$$Mặt khác, $$A \ge \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2 + \left[\frac{21-3(a^2+b^2)^2}{12(a^2+b^2)} \right]^2 - \frac{17}{144}(a^2+b^2)^2 = \frac{81t^2-143t+441}{144t},$$trong đó $t=(a^2+b^2)^2,$ với $0<t<7.$
Tiến hành khảo sát hàm $f(t)$ trên khoảng $(0, \,7)$ ta được $$f'(t) = \frac{81t^2-441}{144t^2}, \quad f'(t)=0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{3}.$$Lập bảng biến thiên, và dựa vào bảng ta thấy $$f(t)\ge f\left(\frac{7}{3} \right) = \frac{235}{144}.$$Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} (a^2+b^2)^2 = \frac{7}{3} \\\ a^2=b^2 \\\ c = \frac{\sqrt{21}}{6} \end{cases}$ hay là $(a, \,b, \,c)= \left( \sqrt[4]{\frac{7}{12}}, \,\sqrt[4]{\frac{7}{12}}, \, \frac{\sqrt{21}}{6} \right).$
Lời giải của em tuy đã định hướng được lời giải nhưng các bước tính toán có sai lầm nên dẫn đến kết quả không đúng.
Toán thủ dzitxiem :5/30
Tiếp theo là toán thủ giangmanh
Nguyên văn bởi giangmanh Xem bài viết
Bài 3 :
Ta có $\sqrt{3abc\left(a+b+c \right)}\leq ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}=1
$
$\sqrt{3\left(ab+bc+ca \right)+1}\leq \sqrt{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+1}=\sqrt{3+1}=2$
$\rightarrow P\leq 25+12.2+2012=2051$
Khi đó $P_{max}=2051$ Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài 2 :
Áp dụng : Khi xyz=1 thì :
$\frac{1}{xy+z+1}+\frac{1}{yz+x+1}+\frac{1}{zx+y+1 }=1$
Ta có : $\left(x+1 \right)^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{2}\left(x+1 \right)^{2}\left(y+z \right)$
Ta CM $3\left(x +1\right)^{2}\left(y+z \right)\geq 8\left(yz+x+1 \right)$
Bài 1:
GT$\Leftrightarrow \frac{21}{12}=c\left(a^{2}+b^{2} \right)+a^{2}b^{2}\leq c\left(a^{2}+b^{2} \right)+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$
$\Rightarrow c\leq \frac{7}{6\left(a^{2}+b^{2} \right)}$
Ta có $a^{4}+b^{4}-\frac{17}{36}a^{2}b^{2}=\left(a^{2}+b^{2} \right)^{2}-\frac{89}{36}a^{2}b^{2}\leq \left( a^{2}+b^{2}\right)^{2}\left(1-\frac{89}{144} \right)=\frac{55}{144}\left(a^{2}+b^{2} \right)$
Tuy em có tham giả giải cả ba bài toán nhưng cả ba bài em đều không đi được trọn vẹn và lời giải chưa làm nổi bật được hướng đi cho bài toán.
Toán thủ giangmanh :3/30
Tiếp theo là toán thủ dan_dhv
[QUOTE=dan_dhv;6445]
Nguyên văn bởi Con phố quen Xem bài viết
Đề ra

Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $c(a^2+b^2)= \dfrac{21}{12}-a^2b^2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:$$A= a^4+c^2+b^4- \dfrac{17}{36}a^2b^2$$

Giải:
Ta có: $\dfrac{21}{12} \leq c(a^2+b^2)+\dfrac{(a^2+b^2)^2}{4}$
Đặt $t=a^2+b^2 \Rightarrow c \geq \dfrac{7-t^2}{4t} \Rightarrow c^2 \geq \dfrac{49}{16t^2}+\dfrac{t^2}{16}-\dfrac{7}{8}$
Khi đó : $ P \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}- \dfrac{17}{36} \dfrac{(a^2+b^2)^2}{4} +c^2 \geq \dfrac{4t^2}{9}+\dfrac{49}{16t^2}-\dfrac{7}{8}$
Xét hàm $f(u) = \dfrac{4u}{9}+\dfrac{49}{16u}-\dfrac{7}{8}$
$f'(u) = \dfrac{4}{9}-\dfrac{49}{16u^2} =0 \Leftrightarrow u=\dfrac{21}{8} $
Lập BBT ta có: $min f(u)= \dfrac{35}{24}$
Bài giải của em hướng đi tốt tìm ra được giá trị nhỏ nhất của bài toán, tuy nhiên em đã không chỉ ra dấu bằng của bài toán, một điều rất quan trọng trong bài cực trị và khi chuyển hai lần ẩn phụ em cũng không có điều kiện ràng buộc theo cho nên khi khảo sát hàm số em đã không chỉ ra được tập xác định của hàm, một điều quan trọng vào hàng đầu khi xét hàm số.
Toán thủ dan_dhv : 7/30
Cuối cùng là toán thủ thiencuong_96
Nguyên văn bởi thiencuong_96 Xem bài viết
Ta luôn có : $x^{2}+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$
Nên bất đẳng thức đã cho trở thành :
$P\leq \frac{\sqrt{2}}{(x+1)^2.(y+z)}+\frac{\sqrt{2}}{(y+ 1)^2.(x+z)}+\frac{\sqrt{2}}{(z+1)^2.(y+x)}$
Do có $xyz=1$
Đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2\Rightarrow abc=1$
Viết lại :
$\frac{P}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{(a^2+1)^2.(b^2+c^2)}+\frac{1}{(b^2+1)^2.( a^2+c^2)}+\frac{1}{(c^2+1)^2.(a^2+b^2)}$
Mà theo $C-S$ ta có
$\sqrt{(a^2+1)(b^2+c^2)}\geq ab+c= \frac{1}{c}+c=\frac{c^2+1}{c}$

$\sqrt{(1+a^2)(b^2+c^2)}\geq b+ac= \frac{1}{b}+b=\frac{b^2+1}{b}$
$\Rightarrow (a^2+1)(b^2+c^2)\geq \frac{(b^2+1)(c^2+1)}{bc}$
Nên viết lại bất đẳng thức như sau :
$\sum \frac{1}{(a^2+1)^2.(b^2+c^2)}\leq \sum \frac{bc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$
Nhận thấy dấu bằng xãy ra khi $x=y=z=1~hay~a=b=c=1$ nên cần chứng minh ( hoặc là chứng minh nó luôn đúng là được )
$\sum \frac{bc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \frac{3}{8}$
Hay
$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ca)$
Chú ý :
$\sqrt{(a^2+1).(b^2+1)}\geq a+b\\
\Rightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$
Mà có $1=abc\leq \frac{\left (a+b+c \right )^3}{27}\Rightarrow a+b+c\geqslant 3\\
\Rightarrow \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ca)$
Vậy nên cần chứng minh :
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ ( BĐT quen thuộc )
Vậy $P\leq \frac{3\sqrt{2}}{8}$ khi $x=y=z=1$
Bài giải của em giải rất tốt. Toán thủ thiencuong_96: 10/30


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ẩn Số (24-12-2012), NHPhuong (24-12-2012), Miền cát trắng (24-12-2012)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Bộ Giáo dục thay đổi phương thức xét tuyển đại học, cao đẳng FOR U Tin tức Giáo dục 24h 0 13-05-2016 09:47



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
2013, Đấu, Đẳng, đẳng, bất, chào, giáng, mừng, mới, năm, sinh, thức, trường,
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014