$$\sum \frac{a+b}{a} +\frac{abc}{2} \leq 2$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 06-10-2015, 00:43
Avatar của SuperFieldsk2pi
SuperFieldsk2pi SuperFieldsk2pi đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 37
Điểm: 4 / 266
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 47859
 
Tham gia ngày: Jul 2015
Bài gửi: 14
Đã cảm ơn : 22
Được cảm ơn 3 lần trong 3 bài viết

Lượt xem bài này: 561
Mặc định $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 06-10-2015, 12:41
Avatar của Nhất Chi Mai
Nhất Chi Mai Nhất Chi Mai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Đại học BKHN
Nghề nghiệp: Chăn bò.
Sở thích: Im lặng
 
Cấp bậc: 15 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 354
Điểm: 87 / 2761
Kinh nghiệm: 17%

Thành viên thứ: 44442
 
Tham gia ngày: Apr 2015
Bài gửi: 263
Đã cảm ơn : 9
Được cảm ơn 148 lần trong 99 bài viết

Mặc định Re: $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$

Nguyên văn bởi SuperFieldsk2pi Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$ và $ab+bc+ca=3$. Chứng minh:
$$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$
Do $2=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{ a+b+c}$

Lại có $\frac{a+c}{a+b+c}-\frac{a}{a+b}=\frac{bc}{(a+b)(a+b+c)}$

Vậy nên BĐT cần chứng minh trở thành:

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a) }\geq \frac{a+b+c}{2}$
Thay $ab+bc+ac=3$ thì ta cần chứng minh:

$(ab+bc+ac)\left[\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \right]\geq \frac{3(a+b+c)}{2}$

Hoặc là:

$\sum_{cyc}\frac{a}{b}+3\geq \frac{3(a+b+c)}{2}+\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}$
BĐT này là tổng của 2 BĐT sau:

$\frac{3}{4}\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \frac{9}{4} \ge \frac{{3{{(a + b + c)}^2}}}{{4(ab + bc + ca)}} + \frac{9}{4} \geq \frac{3}{2}(a + b + c)$

Và:

$\frac{1}{4}\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 3} \right) \geq \frac{{\sqrt c }}{{2\sqrt a }} + \frac{{\sqrt a }}{{2\sqrt b }} + \frac{{\sqrt b }}{{2\sqrt c }} \ge \frac{c}{{c + a}} + \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}}$

BĐT sau cũng đúng với cùng điều kiện và được anh Huyện (NguyenHuyen_AG) làm mạnh từ bài toán trên của Michael Rozenberg.

$\frac{\sqrt{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+abc\leq 1$


Thiên hạ về đâu? Sao vội đi?
Bao giờ gặp nữa? Có tình chi?
- Lòng tôi theo bước người qua ấy,
Cho đến hôm nay vẫn chẳng về.
!!!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nhất Chi Mai 
SuperFieldsk2pi (06-10-2015)
  #3  
Cũ 06-10-2015, 13:39
Avatar của SuperFieldsk2pi
SuperFieldsk2pi SuperFieldsk2pi đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 37
Điểm: 4 / 266
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 47859
 
Tham gia ngày: Jul 2015
Bài gửi: 14
Đã cảm ơn : 22
Được cảm ơn 3 lần trong 3 bài viết

Mặc định Re: $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$

.... Lại có $\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a}{a+b}=\frac{bc}{(a+b)(a+b+c)}$ .... .
Sao hay thế ạ ? Phải là như này chứ ạ : $$\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a}{a+b}=\frac{ab-ac}{(a+b)(a+b+c)}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 06-10-2015, 14:03
Avatar của Nhất Chi Mai
Nhất Chi Mai Nhất Chi Mai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Đại học BKHN
Nghề nghiệp: Chăn bò.
Sở thích: Im lặng
 
Cấp bậc: 15 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 354
Điểm: 87 / 2761
Kinh nghiệm: 17%

Thành viên thứ: 44442
 
Tham gia ngày: Apr 2015
Bài gửi: 263
Đã cảm ơn : 9
Được cảm ơn 148 lần trong 99 bài viết

Mặc định Re: $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$

Nguyên văn bởi SuperFieldsk2pi Xem bài viết
Sao hay thế ạ ? Phải là như này chứ ạ : $$\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a}{a+b}=\frac{ab-ac}{(a+b)(a+b+c)}$$
Lúc đấy hơi đói, đánh nhầm ý mà :) thực ra là:

$\frac{a+c}{a+b+c}-\frac{a}{a+b}$


Thiên hạ về đâu? Sao vội đi?
Bao giờ gặp nữa? Có tình chi?
- Lòng tôi theo bước người qua ấy,
Cho đến hôm nay vẫn chẳng về.
!!!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nhất Chi Mai 
SuperFieldsk2pi (06-10-2015)
  #5  
Cũ 06-10-2015, 14:37
Avatar của SuperFieldsk2pi
SuperFieldsk2pi SuperFieldsk2pi đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 37
Điểm: 4 / 266
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 47859
 
Tham gia ngày: Jul 2015
Bài gửi: 14
Đã cảm ơn : 22
Được cảm ơn 3 lần trong 3 bài viết

Mặc định Re: $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$

Nguyên văn bởi Trường An Xem bài viết
$\frac{1}{4}\left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3} \right)$ $\geq \frac{{\sqrt c }}{{2\sqrt a }} + \frac{{\sqrt a }}{{2\sqrt b }} + \frac{{\sqrt b }}{{2\sqrt c }} \ge \frac{c}{{c + a}} + \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}}$
Cho em hỏi chỗ màu đỏ với ạ .


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 06-10-2015, 15:27
Avatar của Nhất Chi Mai
Nhất Chi Mai Nhất Chi Mai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Đại học BKHN
Nghề nghiệp: Chăn bò.
Sở thích: Im lặng
 
Cấp bậc: 15 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 354
Điểm: 87 / 2761
Kinh nghiệm: 17%

Thành viên thứ: 44442
 
Tham gia ngày: Apr 2015
Bài gửi: 263
Đã cảm ơn : 9
Được cảm ơn 148 lần trong 99 bài viết

Mặc định Re: $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$

Chỗ đấy bạn áp dụng AM-GM như sau:

$\frac{a}{b}+1 \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}$

sau đó nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{a}$ và AM_GM cho $2\sqrt{ab} \leq a+b$


Thiên hạ về đâu? Sao vội đi?
Bao giờ gặp nữa? Có tình chi?
- Lòng tôi theo bước người qua ấy,
Cho đến hôm nay vẫn chẳng về.
!!!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nhất Chi Mai 
SuperFieldsk2pi (06-10-2015)
  #7  
Cũ 06-10-2015, 19:09
Avatar của Nhất Chi Mai
Nhất Chi Mai Nhất Chi Mai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Đại học BKHN
Nghề nghiệp: Chăn bò.
Sở thích: Im lặng
 
Cấp bậc: 15 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 354
Điểm: 87 / 2761
Kinh nghiệm: 17%

Thành viên thứ: 44442
 
Tham gia ngày: Apr 2015
Bài gửi: 263
Đã cảm ơn : 9
Được cảm ơn 148 lần trong 99 bài viết

Mặc định Re: $$\sum \frac{a}{a+b} +\frac{abc}{2} \leq 2$$

Nguyên văn bởi Trường An Xem bài viết
BĐT sau cũng đúng với cùng điều kiện và được anh Huyện (NguyenHuyen_AG) làm mạnh từ bài toán trên của Michael Rozenberg.

$\frac{\sqrt{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+abc\leq 1$
.

Sau đây là lời giải cho bài toán trên:

BĐT này tương đương với:

$\frac{\left[(a-b)(b-c)(c-a) \right]}{(a+b)(b+c)(c+a)}+abc\leq 1$

Ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở đây (các bạn tự giải thích xem tại sao).Khi đó ta cần chứng minh:

$abc\leq \frac{2a^2c+2b^2a+2c^2b+2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Hay tương đương với:

$2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1 \right)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

Ta sẽ đi chứng minh BĐT sau là đúng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq 4\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}}$

Đặt $x=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}}$ ta chứng minh BĐT mạnh hơn sau:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq x^2+2x$

Nhân cả 2 vế BĐT này với $ab+bc+ac$ thì nó tương đương với:

$\frac{ab^2}{c}+\frac{bc^2}{a}+\frac{ca^2}{b}+ab+b c+ca \geq 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}.$

Giờ ta đặt $a=\frac{1}{a},b=\frac{1}{b},c=\frac{1}{c}$ thì BĐT của ta trở thành:

$\frac{c}{ab^2}+\frac{a}{bc^2}+ \frac{b}{ca^2}+ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca} \geq 2\sqrt{\frac{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a+b+c)}{a^3b^3 c^3}}$

Hay tương đương với:

$a^3b+b^3c+c^3a+abc(a+b+c) \geq 2\sqrt{abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a+b+c)}$

hoặc: $ab(c^2+a^2)+bc(a^2+b^2)+ca(b^2+c^2) \geq 2\sqrt{abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a+b+c)}$

Ta đã biết BĐT sau: (Ukraina MO 2001)

$A(y+z)+B(z+x)+C(x+y) \geq 2\sqrt{(AB+BC+CA)(xy+yz+zx)}$

Về bài toán trên bạn có thể tìm hiểu thêm ở trên VMF.

Vậy BĐT cần chứng minh là đúng.

Áp dụng BĐT trên ta cân chứng minh $x^2+2x+1 \geq 4x$ (đúng)

Quay trở lại bài toán thì ta cần chứng minh rằng:

$8\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}}\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

Đến đây mong các bạn tiếp tục thảo luận đưa ra cách chứng minh đẹp hơn.

Mình sẽ xét BĐT trong 2 TH:

1.Khi $c\rightarrow 0^{+}$ thì BĐT hiển nhiên đúng:

2.Khi $c=b$ thì BĐT trở thành:

$\frac{64}{3}.\left(2b^2+\frac{(3-b^2)^2}{4b^2}\right)-\frac{(3+b^2)^4}{4b^2} \geq 0$
BĐT này đúng với mọi $ 0<b \leq \sqrt{3}$


Thiên hạ về đâu? Sao vội đi?
Bao giờ gặp nữa? Có tình chi?
- Lòng tôi theo bước người qua ấy,
Cho đến hôm nay vẫn chẳng về.
!!!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nhất Chi Mai 
SuperFieldsk2pi (06-10-2015)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014