Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq 3$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TRUNG HỌC giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chương trình Toán lớp 10 giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số 10 giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 11-08-2015, 16:35
Avatar của Dark_Magician
Dark_Magician Dark_Magician đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 0
Điểm: 0 / 0
Kinh nghiệm: 0%

Thành viên thứ: 48420
 
Tham gia ngày: Aug 2015
Bài gửi: 1
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Lượt xem bài này: 556
Mặc định Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq 3$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \geq 3$$



Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 11-08-2015, 21:30
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 9030
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq 3$

Nguyên văn bởi Dark_Magician Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \geq 3$$

Không mất tính tổng quát của bài toán. Giả sử $a \ge b \ge c>0$.
Khi đó,BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$a+b+c+\frac{1}{2}\left[\frac{(a-b)^2}{a+b}+\frac{(b-c)^2}{b+c}+\frac{(c-a)^2}{c+a} \right] \ge 3~~~~~~(1)$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$$\frac{(a-b)^2}{a+b}+\frac{(b-c)^2}{b+c}+\frac{(c-a)^2}{c+a}\\=\frac{(a-b)^2}{a+b}+\frac{(b-c)^2}{b+c}+\frac{(a-c)^2}{c+a}\\ \ge \frac{(a-b+b-c+a-c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{2(a-c)^2}{a+b+c}$$
Từ đó, dựa vào $(1)$ ta cần chứng minh được:
$$a+b+c+\frac{(a-c)^2}{a+b+c} \ge 3$$
Thật vậy, ta có:
$$a+b+c+\frac{(a-c)^2}{a+b+c}\\ =\frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}+a+b+c+\frac{(a-b)(b-c)}{a+b+c}\\ =\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}+\frac{(a-b)(b-c)}{a+b+c} \overset{AM-GM}{\ge} 3+\frac{(a-b)(b-c)}{a+b+c} \ge 3$$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài toán chứng minh xong.


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dolaemon (11-08-2015), Trọng Nhạc (12-08-2015)
  #3  
Cũ 11-08-2015, 21:46
Avatar của Nhất Chi Mai
Nhất Chi Mai Nhất Chi Mai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Đại học BKHN
Nghề nghiệp: Chăn bò.
Sở thích: Im lặng
 
Cấp bậc: 15 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 354
Điểm: 87 / 2772
Kinh nghiệm: 17%

Thành viên thứ: 44442
 
Tham gia ngày: Apr 2015
Bài gửi: 263
Đã cảm ơn : 9
Được cảm ơn 148 lần trong 99 bài viết

Mặc định Re: Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq 3$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \geq 3$$

Cách dùng "yếu tố ít nhất" như trên.

Với bài này dùng S.O.S không quá khó:

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\sum (\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2})\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)$

$\sum (a-b)^2\left[\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c} \right]\geq 0$
Chứng minh $S_{a},S_{b},S_{c}>0$ đơn giản.

Còn 1 cách nữa hơi dài.(dùng Schur)


Thiên hạ về đâu? Sao vội đi?
Bao giờ gặp nữa? Có tình chi?
- Lòng tôi theo bước người qua ấy,
Cho đến hôm nay vẫn chẳng về.
!!!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dolaemon (11-08-2015), Táo_Cass (12-08-2015)
  #4  
Cũ 27-11-2016, 23:08
Avatar của ronaldo200
ronaldo200 ronaldo200 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 0
Điểm: 0 / 2
Kinh nghiệm: 2%

Thành viên thứ: 56926
 
Tham gia ngày: Nov 2016
Bài gửi: 2
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Talking Re: Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq 3$

Đây là một lời giải thứ 3:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\Sigma \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^ 2+a^2} \right)^2}{2\left(a+b+c \right)}$
Như vậy cuối cùng ta cần chứng minh:
$\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2 } \right)^2\geq 6\left(a+b+c \right)$
Đến đây cũng áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\left(\sum \sqrt{a^2+b^2} \right)^2=2\sum a^2+2\sum \sqrt{\left(a^2+b^2 \right)\left(a^2+c^2 \right)}\geq 2\sum a^2+2\sum \left(a^2+bc \right)$
$=9+\left(\sum a \right)^2\geq 6\left(\sum a \right)$
$\Rightarrow Q.E.D$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Chứng minh rằng $\forall a\geq 1$ ta luôn có $\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}}\g eq \frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 20-05-2016 13:44



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014