[2013]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 09-12-2012, 18:57
Avatar của ${\pi}^2$
${\pi}^2$ ${\pi}^2$ đang ẩn
LÊ HUY HOÀNG
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 240
Điểm: 44 / 3598
Kinh nghiệm: 62%

Thành viên thứ: 1017
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 134
Đã cảm ơn : 115
Được cảm ơn 219 lần trong 89 bài viết

Lượt xem bài này: 1550
Mặc định [2013]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$

Cho $a,b,c >0$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  ${\pi}^2$ 
Phạm Kim Chung (10-12-2012)
  #2  
Cũ 11-08-2013, 09:51
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9672
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.510 lần trong 603 bài viết

Mặc định Re: [2013]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$

Nguyên văn bởi ${\pi}^2$ Xem bài viết
Cho $a,b,c >0$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$$
Bài làm:
Đây là một trong những bài bất đẳng thức hay và khó, hi, mình đọc khá nhiều, nên cái nè một phần là học hỏi.
Nhìn vào bài toán, ý niệm điểm rơi khi 3 biến bằng nhau thường gặp không tỏ ra đúng đắn nữa, nếu đi theo "vết xe đổ" này sẽ hãm chúng ta lại.
Hi, vì bài toán với các biến có vẻ đối xứng mà cũng có hoán vịi, nên tự nhiên sẽ hướng ta tới điểm rơi là hai biến bằng nhau, một biến =0.
Vì thế, ta dùng đao to búa lớn là dồn biến.
Dự đoán GTNN là 4 giúp ta định hướng giải quyết khá ngon.
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \geq c$
Ta sẽ chứng minh:
$$(4a^2+bc)(4b^2+ca) \leq (4t^2+tc)^2.$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2 \left( \dfrac{c^2}{4}+a^2+b^2+6ab-3ac-3bc \right) \geq 0.$$
Điều này hiển nhiên đúng với $a \geq b \geq c$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{4t^2+tc}} + \dfrac{1}{\sqrt{4c^2+t^2}} =f(t,c).$$
Cần chứng minh:
$$f(t,c) \geq \dfrac{4}{a+b+c}=\dfrac{4}{2t+c}.$$
$$\Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{\sqrt{4t^2+tc}}-\dfrac{1}{t} \right) + \left(\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+t^2}} -\dfrac{1}{t} \right) \geq \dfrac{4}{2t+c}-\dfrac{2}{t}.$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{2}{t(2t+c)}-\dfrac{1}{\sqrt{4t^2+tc} ( (2t+\sqrt{2t^2+tc})}-\dfrac{4c}{t \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4c^2+t^2)}} \geq 0.$$
Chứng minh nốt:
1.$$\dfrac{1}{3t(2t+c)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{4t^2+tc}(2t+ \sqrt{2t^2+tc})}.$$
$$\Leftrightarrow t^2 + 6tc+2c^2 \leq 2t\sqrt{4t^2+tc} + c\sqrt{4t^2+tc}.$$
Với $t\geq c$ thì điều này luôn đúng.
2.$$\dfrac{5}{3t(2t+c)} \geq \dfrac{4c}{t \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4c^2+t^2)}}.$$
$$\Leftrightarrow 5 \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4t^2+c^2} \geq 12c(2t+c).$$
Mà không khó thấy rằng:
$$ 5 \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4t^2+c^2} \geq (4c+t)(4c+ (\sqrt{5} +1)t) \geq 12c(2t+c).$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{5} +1)t^2+(16-4\sqrt{5})tc+4c^2 \geq 0.$$
Hi, đến đây rồi, nhìn ngay ra ý tưởng là định lí về dấu tam thức bậc hai, $\Delta <0.$
Vậy ta đã chứng minh xong bất đẳng thức đã dự đoán.
Vậy GTNN của P là 4.
Dấu bằng xảy ra khi 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau, số kia bằng 0.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
N H Tu prince (12-08-2013), neymar11 (08-02-2014)
  #3  
Cũ 12-08-2013, 08:35
Avatar của hiếuctb
hiếuctb hiếuctb đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: THPT_Chuyên TB
Nghề nghiệp: hs
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 442
Điểm: 134 / 6205
Kinh nghiệm: 70%

Thành viên thứ: 4734
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 404
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 540 lần trong 253 bài viết

Mặc định Re: [2013]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$

Nguyên văn bởi Mạo Hỡi Xem bài viết
Bài làm:
Đây là một trong những bài bất đẳng thức hay và khó, hi, mình đọc khá nhiều, nên cái nè một phần là học hỏi.
Nhìn vào bài toán, ý niệm điểm rơi khi 3 biến bằng nhau thường gặp không tỏ ra đúng đắn nữa, nếu đi theo "vết xe đổ" này sẽ hãm chúng ta lại.
Hi, vì bài toán với các biến có vẻ đối xứng mà cũng có hoán vịi, nên tự nhiên sẽ hướng ta tới điểm rơi là hai biến bằng nhau, một biến =0.
Vì thế, ta dùng đao to búa lớn là dồn biến.
Dự đoán GTNN là 4 giúp ta định hướng giải quyết khá ngon.
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \geq c$
Ta sẽ chứng minh:
$$(4a^2+bc)(4b^2+ca) \leq (4t^2+tc)^2.$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2 \left( \dfrac{c^2}{4}+a^2+b^2+6ab-3ac-3bc \right) \geq 0.$$
Điều này hiển nhiên đúng với $a \geq b \geq c$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{4t^2+tc}} + \dfrac{1}{\sqrt{4c^2+t^2}} =f(t,c).$$
Cần chứng minh:
$$f(t,c) \geq \dfrac{4}{a+b+c}=\dfrac{4}{2t+c}.$$
$$\Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{\sqrt{4t^2+tc}}-\dfrac{1}{t} \right) + \left(\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+t^2}} -\dfrac{1}{t} \right) \geq \dfrac{4}{2t+c}-\dfrac{2}{t}.$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{2}{t(2t+c)}-\dfrac{1}{\sqrt{4t^2+tc} ( (2t+\sqrt{2t^2+tc})}-\dfrac{4c}{t \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4c^2+t^2)}} \geq 0.$$
Chứng minh nốt:
1.$$\dfrac{1}{3t(2t+c)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{4t^2+tc}(2t+ \sqrt{2t^2+tc})}.$$
$$\Leftrightarrow t^2 + 6tc+2c^2 \leq 2t\sqrt{4t^2+tc} + c\sqrt{4t^2+tc}.$$
Với $t\geq c$ thì điều này luôn đúng.
2.$$\dfrac{5}{3t(2t+c)} \geq \dfrac{4c}{t \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4c^2+t^2)}}.$$
$$\Leftrightarrow 5 \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4t^2+c^2} \geq 12c(2t+c).$$
Mà không khó thấy rằng:
$$ 5 \sqrt{4c^2+t^2} (t+ \sqrt{4t^2+c^2} \geq (4c+t)(4c+ (\sqrt{5} +1)t) \geq 12c(2t+c).$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{5} +1)t^2+(16-4\sqrt{5})tc+4c^2 \geq 0.$$
Hi, đến đây rồi, nhìn ngay ra ý tưởng là định lí về dấu tam thức bậc hai, $\Delta <0.$
Vậy ta đã chứng minh xong bất đẳng thức đã dự đoán.
Vậy GTNN của P là 4.
Dấu bằng xảy ra khi 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau, số kia bằng 0.
Đây là bài 2.93 trong Sáng tạo bdt , có cả bài tổng quát luôn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hiếuctb 
Trọng Nhạc (12-08-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M= 2016\left(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}\right)-(a+b+c)\left(\dfrac{2015}{a}+ \dfrac{2015}{c}\right)$ Lê Đình Mẫn Bất đẳng thức - Cực trị 0 30-05-2016 17:19
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mu8991 Bất đẳng thức - Cực trị 3 29-05-2016 01:03
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$pleft, 2013tìm, ab, ac, b2, bc, biểu, của, dfrac14a2, dfrac1sqrt4, dfrac1sqrt4a2, dfrac1sqrt4c2, giá, nhất, nhỏ, right$, rightleft, tìm, thức, trị
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014