Chứng minh $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 9\sqrt{abc}$ với $a,b,c>0$ thoả mãn $a^3+b^3+c^3=3.$ - Trang 2

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #5  
Cũ 09-12-2012, 18:54
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 15702
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.191 lần trong 1.384 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Phạm Kim Chung Xem bài viết
Bài này mình thử dồn biến xem ?

Đặt $f(a,b,c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-9\sqrt{abc}$
Xét :
$\begin{array}{l}
f\left( {a;b;c} \right) - f\left( {\frac{{a + b}}{2};\frac{{a + b}}{2};c} \right) = \\
= \left( {a + b + c} \right)\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} + 9\sqrt c \frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{2} \ge 0\\
\Rightarrow f\left( {a;b;c} \right) \ge f\left( {\frac{{a + b}}{2};\frac{{a + b}}{2};c} \right)
\end{array}$

Lúc này bài toán trở thành :
Cho $x,c >0 : 2x^3+c^3=3$ . Chứng minh :
$\left( {2x + c} \right)\left( {2{x^2} + {c^2}} \right) - 9x\sqrt c \ge 0$

Nhưng nếu Luật ra đề thì nhiều khả năng khúc này cũng không hề dễ.
Giờ bận đi dạy đã, ai xem hộ mình cái khúc sau hộ !
OK rồi đó. Đến đây xét hàm sau là xong
\[f(c)= \left( 2\sqrt[3]{\dfrac{(3-c^3)}{2}}+c\right) \left( 2(\sqrt[3]{\dfrac{(3-c^3)}{2}})^2+c^2\right) - 9\sqrt[3]{\dfrac{(3-c^3)}{2}}\sqrt{c}\]
Nhưng cái hàm này đạo hàm hơi phức tạp xíu thôi.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
Trần Trang (09-12-2012)
  #6  
Cũ 09-12-2012, 21:21
Avatar của Phạm Kim Chung
Phạm Kim Chung Phạm Kim Chung đang ẩn
Sáng lập: K2pi -Toán THPT
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: GV THPT
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 83 / 838
Điểm: 559 / 16739
Kinh nghiệm: 52%

Thành viên thứ: 1
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gửi: 1.677
Đã cảm ơn : 1.869
Được cảm ơn 6.144 lần trong 1.212 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi manlonely838 Xem bài viết
OK rồi đó. Đến đây xét hàm sau là xong
\[f(c)= \left( 2\sqrt[3]{\dfrac{(3-c^3)}{2}}+c\right) \left( 2(\sqrt[3]{\dfrac{(3-c^3)}{2}})^2+c^2\right) - 9\sqrt[3]{\dfrac{(3-c^3)}{2}}\sqrt{c}\]
Nhưng cái hàm này đạo hàm hơi phức tạp xíu thôi.
Không phải chút xíu, mà nhìn nó nản quá
Để mình hoàn thành chứng minh theo hướng lúc chiều :
Giả sử $c=max(a;b;c)\Rightarrow c\ge 1$
Đặt $f(a,b,c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-9\sqrt{abc}$
Xét :
$\begin{array}{l}
f\left( {a;b;c} \right) - f\left( {\frac{{a + b}}{2};\frac{{a + b}}{2};c} \right)
= \left( {a + b + c} \right)\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} + 9\sqrt c \frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{2} \ge 0\\
\Rightarrow f\left( {a;b;c} \right) \ge f\left( {\frac{{a + b}}{2};\frac{{a + b}}{2};c} \right)
\end{array}$

Lúc này bài toán trở thành :
Cho $x,c >0 : 2x^3+c^3=3$ . Chứng minh : $\left( {2x + c} \right)\left( {2{x^2} + {c^2}} \right) - 9x\sqrt c \ge 0$ (*)
Do : $c \ge 1 \Rightarrow x \leq 1 $

Ta có :
(*) $ \Leftrightarrow \left( {2x + c} \right){\left( {x - c} \right)^2} + x\left( {2{x^2} + 2{c^2} + 5xc - 9x\sqrt c } \right) \ge 0$

Ta sẽ chứng minh :
$2{x^2} + 2{c^2} + 5xc - 9x\sqrt c \ge 0 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - xc + {c^2}} \right) + 7xc - 9x\sqrt c \ge 0$ (**)
Từ giả thiết :
$\begin{array}{l}
2{x^3} + {c^3} = 3 \Rightarrow \left( {x + c} \right)\left( {{x^2} - xc + {c^2}} \right) = 3 - {x^3}
\Rightarrow {x^2} - xc + {c^2} = \frac{{3 - {x^3}}}{{x + c}}
\end{array}$
Thay vào (**) ta được :
$\begin{array}{l}
2.\frac{{3 - {x^3}}}{{x + c}} + x\left( {7c - 9\sqrt c + 2} \right) - 2x \ge 0
\Leftrightarrow \frac{{6 - 2{x^3} - 2{x^2} - 2xc}}{{x + c}} + x\left( {\sqrt c - 1} \right)\left( {7\sqrt c - 2} \right) \ge 0
\end{array}$

Do $c\ge 1$ , nên ta chỉ cần chứng minh :
$\frac{{6 - 2{x^3} - 2{x^2} - 2xc}}{{x + c}} \ge 0 \Leftrightarrow 6 - 2{x^3} - 2{x^2} - 2xc \ge 0$ (***)
Từ giả thiết :
$3 = 2{x^3} + {c^3} \Rightarrow {\rm{4 - }}{{\rm{x}}^3} = 1 + {x^3} + {c^3} \ge 3xc \Rightarrow xc \le \frac{{4 - {x^3}}}{3}$
Nên :
$\begin{array}{l}
VT(^{***})=6 - 2{x^3} - 2{x^2} - 2xc \ge 6 - 2{x^3} - 2{x^2} - 2\frac{{4 - {x^3}}}{3} = \frac{{10 - 4{x^3} - 6{x^2}}}{3} \\
= \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {4{x^2} + 10x + 10} \right)}}{3} \ge 0,\,\,\forall x \le 1
\end{array}$

Vậy BĐT được CM .
PS : Giải hơi dài không biết có nhầm chỗ nào không, nhờ Luật xem hộ !


Never study to be successful, study for self efficiency. Don’t run behind success. Follow behind excellence, success will come all way behind you.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lê Đình Mẫn (09-12-2012), Trần Quốc Luật (18-01-2013), Miền cát trắng (09-12-2012), Trần Trang (09-12-2012)
  #7  
Cũ 09-12-2012, 21:48
Avatar của Trần Trang
Trần Trang Trần Trang đang ẩn
Vô tích sự
Nghề nghiệp: sinh viên
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 110
Điểm: 14 / 1962
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 790
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 44
Đã cảm ơn : 25
Được cảm ơn 26 lần trong 11 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi FOR U Xem bài viết
Chỗ này chưa ổn người đẹp ui
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \ge \sqrt{abc}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{a^2b^2c^2} )^6 \ge (\sqrt{abc})^6$
$\Leftrightarrow (abc)^4 \ge (abc)^3$
Ai chà, trình độ gà nên chỉ bít làm bấy nhiêu đó thui, học mãi BĐT mà không vào, dạng ngu lâu dốt bền khó đào tạo thui từ nay không dám ho he chi nựa,


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #8  
Cũ 09-12-2012, 22:18
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 15702
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.191 lần trong 1.384 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi luatdhv Xem bài viết
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 9\sqrt{abc}.$$
Cái đề rất đẹp nhưng...

Lời giải:

Sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có
\[(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(ac+\sum a^2-ac)(b+a+c)\ge \left( \sqrt{abc}+\sqrt{(a+c)(\sum a^2-ac)}\right)^2\ (1)\]
Mặt khác, với giả sử $b$ nằm giữa $a,\ c$ ta có được
\[\begin{aligned}&(a+c)(\sum a^2-ac)-(\sum a^3+abc)=b(a-b)(b-c)\ge 0\\
\iff &(a+c)(a^2+b^2+c^2-ac)\ge a^3+b^3+c^3+abc\ (2)\end{aligned}\]
Từ $(1),\ (2)$ kết hợp bài toán ta chỉ cần chứng minh BĐT sau
\[\left( \sqrt{abc}+\sqrt{3+abc}\right)^2\ge 9\sqrt{abc}\ (3)\]
Thật vậy, đặt $t=\sqrt{abc}$. Ta có $0<t\le 1$ ta có
\[(3)\iff 2t\sqrt{t^2+3}\ge -2t^2+9t-3 \ (4)\]
+ Nếu $0<t< \dfrac{9-\sqrt{57}}{4}$ thì $(4)$ hiển nhiên đúng.
+ Nếu $\dfrac{1}{4}< \dfrac{9-\sqrt{57}}{4}\le t\le 1$ thì $-2t^2+9t-3\ge 0$ nên lúc này
\[(4)\iff (2t\sqrt{t^2+3})^2\ge (-2t^2+9t-3)^2\iff (t-1)^2(4t-1)\ge 0 \text{ đúng.}\]
Như vậy, bài toán đã được giải quyết xong.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Cô Tịch (18-09-2016), Hiệp sỹ bóng đêm (09-12-2012), Trần Quốc Luật (18-01-2013), Miền cát trắng (09-12-2012), Phạm Kim Chung (09-12-2012)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $a3, 9sqrtabc$, b2, b3, c&gt0$, c>0$, c2, c33$, ca2, chứng, ge, mãn, minh, thoả, với
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên