Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 20-02-2015, 22:42
Avatar của Trọng Nhạc
Trọng Nhạc Trọng Nhạc đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Cà Mau
Nghề nghiệp: thợ toán
Sở thích: yên lặng
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 64 / 642
Điểm: 297 / 8706
Kinh nghiệm: 69%

Thành viên thứ: 9728
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 893
Đã cảm ơn : 971
Được cảm ơn 896 lần trong 483 bài viết

Lượt xem bài này: 522
Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$.


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 21-02-2015, 08:07
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 9012
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$

Nguyên văn bởi Trọng Nhạc Xem bài viết
Cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$.
Bài toán hoàn toàn có thể giải quyết bằng BĐT BCS và một số dạng của nó. Điển hình ở đây là Cauchy-Schwarz!

Lời Giải:


Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$$\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2}+ 1}{x} \ge \frac{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1} \right)^2}{x+y+z}=\frac{6+2\left[ \sum \sqrt{(x^2+1)(1+y^2)} \right]}{x+y+z}~~~~(*)$$
Áp dụng BĐT BCS ta có:
$$\frac{6+2\left[ \sum \sqrt{(x^2+1)(1+y^2)} \right]}{x+y+z} \ge \frac{6+2\left[\sum (x+y) \right]}{x+y+z}=4+\frac{6}{x+y+z}~~~~~~~(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra:
$$\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2}+ 1}{x} \ge 4+\frac{6}{x+y+z}$$
Từ đánh giá trên và áp dụng BĐT BCS ta được:
$$P \ge \frac{5}{x+y+z}+4 \ge \frac{5}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}+4=\frac{17}{3}$$
Vậy $Min_P=\dfrac{17}{3}$. Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$.


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
heroviet156 (21-02-2015), Trọng Nhạc (21-02-2015)
  #3  
Cũ 21-02-2015, 09:07
Avatar của Trọng Nhạc
Trọng Nhạc Trọng Nhạc đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Cà Mau
Nghề nghiệp: thợ toán
Sở thích: yên lặng
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 64 / 642
Điểm: 297 / 8706
Kinh nghiệm: 69%

Thành viên thứ: 9728
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 893
Đã cảm ơn : 971
Được cảm ơn 896 lần trong 483 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$

Nguyên văn bởi Nguyễn Minh Đức Xem bài viết
Bài toán hoàn toàn có thể giải quyết bằng BĐT BCS và một số dạng của nó. Điển hình ở đây là Cauchy-Schwarz!

Lời Giải:


Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$$\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2}+ 1}{x} \ge \frac{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1} \right)^2}{x+y+z}=\frac{6+2\left[ \sum \sqrt{(x^2+1)(1+y^2)} \right]}{x+y+z}~~~~(*)$$
Áp dụng BĐT BCS ta có:
$$\frac{6+2\left[ \sum \sqrt{(x^2+1)(1+y^2)} \right]}{x+y+z} \ge \frac{6+2\left[\sum (x+y) \right]}{x+y+z}=4+\frac{6}{x+y+z}~~~~~~~(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra:
$$\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2}+ 1}{x} \ge 4+\frac{6}{x+y+z}$$
Từ đánh giá trên và áp dụng BĐT BCS ta được:
$$P \ge \frac{5}{x+y+z}+4 \ge \frac{5}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}+4=\frac{17}{3}$$
Vậy $Min_P=\dfrac{17}{3}$. Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$.
Em có cái nhìn bài toán sắc sảo.




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Quân Sư (21-02-2015), vuduy (21-02-2015)
  #4  
Cũ 21-02-2015, 17:35
Avatar của Shirunai Okami
Shirunai Okami Shirunai Okami đang ẩn
$\Huge\mathfrak{POPEYE}$
Đến từ: HNUE
Nghề nghiệp: Tháo Giầy
Sở thích: Shingeki no Kyojin
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 510
Điểm: 180 / 6509
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 15713
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 541
Đã cảm ơn : 336
Được cảm ơn 905 lần trong 296 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$

Nguyên văn bởi Trọng Nhạc Xem bài viết
Cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2} +1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$.
Lời giải này dùng chỉ $AM-GM$
Ta có
$$P\geqslant 2 \left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \right)-\dfrac{1}{x+y+z}\geqslant \dfrac{2\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt[3]{xyz}}-\dfrac{1}{x+y+z}\geqslant \dfrac{17}{x+y+z}\geqslant \dfrac{17}{3}$$
LG đã sử dụng bổ đề
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}$$
Chứng minh có thể xem ở đây
http://k2pi.net.vn/showthread.php?t=10243



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Shirunai Okami 
Quân Sư (21-02-2015)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M= 2016\left(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}\right)-(a+b+c)\left(\dfrac{2015}{a}+ \dfrac{2015}{c}\right)$ Lê Đình Mẫn Bất đẳng thức - Cực trị 0 30-05-2016 17:19
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014