Bai toán cũ của ma29 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 16-02-2015, 21:33
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6062
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Lượt xem bài này: 509
Talking Bài toán cũ của ma29

Ta bắt đầu ý tưởng từ những bài toán cân bằng hệ số đơn giản ta sẽ giải quyết bài toán sau ở dạng tổng quát và ta sẽ tìm cách để nó trở nên đúng và có một thắc mắc mà tôi không biết là mình có giải đúng hay không nữa .
Bài 1:Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$ tìm GTNN xét biểu thức :
$$A=\sqrt[2n+1]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[2n+1]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[2n+1]{c^2+\frac{1}{c^2}}$$
(Sáng tác ma29)
Lời giải :
Ta có : $$\sqrt[2n+1]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{(a^2+\frac{1}{a^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$
Tương tự ta cũng có :
$$\sqrt[2n+1]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{(b^2+\frac{1}{b^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$

$$\sqrt[2n+1]{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}
\geq 2\sqrt[4n+2]{(c^2+\frac{1}{c^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$

$$\Rightarrow A+ 3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{k^2+\frac{1}{k^2}}\left[\sqrt[4n+2]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[4n+2]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[4n+2]{c^2+\frac{1}{c^2}} \right]$$
Ta đặt $$A_1=\sqrt[4n+2]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[4n+2]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[4n+2]{c^2+\frac{1}{c^2}}$$
$$\Rightarrow A+3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}} \geq 2A_1(1)$$
Tiếp theo ta sẽ sử dụng $CS$ để nhằm giảm bậc của căn thức :
$$\sqrt[4n+2]{(b^2+\frac{1}{b^2}(\alpha^2+\beta ^2)}\geq \sqrt[2n+1]{a\alpha +\frac{\beta }{a}}$$
Điều kiện để dấu bằng xảy ra :
$$\left\{\begin{matrix}
a=b=c\\
\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}= 3\sqrt[n]{k}\\
\frac{a}{\alpha }=\frac{1}{b\beta }
\end{matrix}\right.$$
Ta chọn $\alpha=1\Rightarrow \beta =\frac{1}{k^2}$
Từ đây ta có được kết quả đầu tiên cho lần sử dụng $CS$:
$$\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}A_1\geq \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{b+\frac{1}{k^2b}}+\sqrt[2n+1]{c+\frac{1}{k^2c}}$$
Ta đặt $A_2=\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{b+\frac{1}{k^2b}}+\sqrt[2n+1]{c+\frac{1}{k^2c}}$ thì ta có :
$$A_1\geq \frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}}. A_2(2)$$
Ta sử dụng $AM-GM$ cho $2n$ số$ \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}$ và $\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}$ ta có :
$$\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+....+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq (2n+1)\sqrt[2n+1]{ [\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}]^{2n}.\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}$$
Tương tự và gom lại thì ta không thu đc kết quả như mong muốn nên ta sử dụng $AM-GM$ cho $(2n+1)^2$ số$ \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}$ và $\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}$ ta có :
$$\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+....+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^2+1]{\sqrt[2n+1]{\left ( a+\frac{k^2a}{k} \right )^{(2n+1)^2}}\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}$$
$$\Rightarrow [(2n+1)^2+1]A_2+3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq \left[ [(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\right]\left(a+b+c+\frac{1}{k^2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \right)$$
Đặt $$A_3=a+b+c+\frac{1}{k^2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})$$
$$\Rightarrow [(2n+1)^2+1]A_2+3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq \left[ [(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\right]A_3$$
Lần lượt từ dưới lên ta có :
$$A\geq 2A_1-3\left ( \sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}} \right )$$
$$A_1\geq \frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}}A_2$$
và :
$$A_2\geq \frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}A_3-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1}$$
Ta suy ra:
$$A\geq 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}A_3-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$
Ta sẽ tìm đánh giá $A_3\geq$ hằng số là bài toán đc giải quyết :
Tiếp tục sử dụng $AM-GM$ ta có :
$$\underbrace{\frac{1}{\alpha}a+\frac{1}{\alpha}a+ ....+\frac{1}{\alpha}a}_{\alpha lan}+\underbrace{\frac{1}{\beta k^2b}+\frac{1}{\beta k^2b}+....+\frac{1}{\beta k^2b}}_{\beta lan}\geq (\alpha +\beta )\sqrt[\alpha +\beta ]{\left (\frac{a}{\alpha } \right )^\alpha .\left ( \frac{1}{\beta k^2a} \right )^\beta }$$
Vế phải của bất đẳng thức này có số mũ của $a$ là $\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$ ta cần có :$ \frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{n}\Rightarrow \alpha =\frac{1+n}{n-1}, \beta =1$
Vậy ta có :
$$a+\frac{1}{k^2a}\geq \left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[\frac{2n}{n-1}]{\left ( \frac{n-1}{n+1}a \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2a}}=\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n]{a}\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}}$$
$$\Rightarrow \sum a+\frac{1}{k^2a}\geq \left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )\left (\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c} \right )\geq \left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}$$
$$A\geq 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}\left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$
Đây chính là GTNN của $A$ phụ thuộc vào $n$ và $k$, đẳng thức xảy ra $\Longleftrightarrow a=b=c=k\square$
Với điều kiện dấu bằng này thì liệu
$$ 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}\left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}=3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$

Mở rộng cho các bài 1,2,3,4 .
Bài 2: Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_1=\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}}+\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}}+\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}}$$
(Sáng tác ma29)
Bài 3: Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_2=\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}}+\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}}+\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}}+\left (\frac{m+n}{2} \right )\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
(Sáng tác ma29)
Bài 4:Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_3=\sum \left (\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}} \right )^{t}+\left (\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}} \right )^{t}+\left (\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}} \right )^{t}$$
trong đó $t=1+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}$
(Sáng tác ma29)
Như vậy thì từ bài toán 1 ta có thể sáng tác thêm vài bài phức tạp mà ma29 vẫn chưa giải được. Bài toán gốc đúng hay thì cũng không biết


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Kị sĩ ánh sáng (17-02-2015), Quân Sư (17-02-2015)
  #2  
Cũ 26-05-2015, 17:08
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6062
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Talking Re: Bài toán cũ của ma29

Nguyên văn bởi ma29 Xem bài viết
Ta bắt đầu ý tưởng từ những bài toán cân bằng hệ số đơn giản ta sẽ giải quyết bài toán sau ở dạng tổng quát và ta sẽ tìm cách để nó trở nên đúng và có một thắc mắc mà tôi không biết là mình có giải đúng hay không nữa .
Bài 1:Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$ tìm GTNN xét biểu thức :
$$A=\sqrt[2n+1]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[2n+1]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[2n+1]{c^2+\frac{1}{c^2}}$$
(Sáng tác ma29)
Lời giải :
Ta có : $$\sqrt[2n+1]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{(a^2+\frac{1}{a^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$
Tương tự ta cũng có :
$$\sqrt[2n+1]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{(b^2+\frac{1}{b^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$

$$\sqrt[2n+1]{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}
\geq 2\sqrt[4n+2]{(c^2+\frac{1}{c^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$

$$\Rightarrow A+ 3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{k^2+\frac{1}{k^2}}\left[\sqrt[4n+2]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[4n+2]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[4n+2]{c^2+\frac{1}{c^2}} \right]$$
Ta đặt $$A_1=\sqrt[4n+2]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[4n+2]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[4n+2]{c^2+\frac{1}{c^2}}$$
$$\Rightarrow A+3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}} \geq 2A_1(1)$$
Tiếp theo ta sẽ sử dụng $CS$ để nhằm giảm bậc của căn thức :
$$\sqrt[4n+2]{(b^2+\frac{1}{b^2}(\alpha^2+\beta ^2)}\geq \sqrt[2n+1]{a\alpha +\frac{\beta }{a}}$$
Điều kiện để dấu bằng xảy ra :
$$\left\{\begin{matrix}
a=b=c\\
\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}= 3\sqrt[n]{k}\\
\frac{a}{\alpha }=\frac{1}{b\beta }
\end{matrix}\right.$$
Ta chọn $\alpha=1\Rightarrow \beta =\frac{1}{k^2}$
Từ đây ta có được kết quả đầu tiên cho lần sử dụng $CS$:
$$\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}A_1\geq \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{b+\frac{1}{k^2b}}+\sqrt[2n+1]{c+\frac{1}{k^2c}}$$
Ta đặt $A_2=\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{b+\frac{1}{k^2b}}+\sqrt[2n+1]{c+\frac{1}{k^2c}}$ thì ta có :
$$A_1\geq \frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}}. A_2(2)$$
Ta sử dụng $AM-GM$ cho $2n$ số$ \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}$ và $\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}$ ta có :
$$\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+....+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq (2n+1)\sqrt[2n+1]{ [\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}]^{2n}.\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}$$
Tương tự và gom lại thì ta không thu đc kết quả như mong muốn nên ta sử dụng $AM-GM$ cho $(2n+1)^2$ số$ \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}$ và $\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}$ ta có :
$$\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+....+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^2+1]{\sqrt[2n+1]{\left ( a+\frac{k^2a}{k} \right )^{(2n+1)^2}}\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}$$
$$\Rightarrow [(2n+1)^2+1]A_2+3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq \left[ [(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\right]\left(a+b+c+\frac{1}{k^2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \right)$$
Đặt $$A_3=a+b+c+\frac{1}{k^2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})$$
$$\Rightarrow [(2n+1)^2+1]A_2+3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq \left[ [(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\right]A_3$$
Lần lượt từ dưới lên ta có :
$$A\geq 2A_1-3\left ( \sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}} \right )$$
$$A_1\geq \frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}}A_2$$
và :
$$A_2\geq \frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}A_3-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1}$$
Ta suy ra:
$$A\geq 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}A_3-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$
Ta sẽ tìm đánh giá $A_3\geq$ hằng số là bài toán đc giải quyết :
Tiếp tục sử dụng $AM-GM$ ta có :
$$\underbrace{\frac{1}{\alpha}a+\frac{1}{\alpha}a+ ....+\frac{1}{\alpha}a}_{\alpha lan}+\underbrace{\frac{1}{\beta k^2b}+\frac{1}{\beta k^2b}+....+\frac{1}{\beta k^2b}}_{\beta lan}\geq (\alpha +\beta )\sqrt[\alpha +\beta ]{\left (\frac{a}{\alpha } \right )^\alpha .\left ( \frac{1}{\beta k^2a} \right )^\beta }$$
Vế phải của bất đẳng thức này có số mũ của $a$ là $\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$ ta cần có :$ \frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{n}\Rightarrow \alpha =\frac{1+n}{n-1}, \beta =1$
Vậy ta có :
$$a+\frac{1}{k^2a}\geq \left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[\frac{2n}{n-1}]{\left ( \frac{n-1}{n+1}a \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2a}}=\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n]{a}\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}}$$
$$\Rightarrow \sum a+\frac{1}{k^2a}\geq \left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )\left (\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c} \right )\geq \left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}$$
$$A\geq 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}\left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$
Đây chính là GTNN của $A$ phụ thuộc vào $n$ và $k$, đẳng thức xảy ra $\Longleftrightarrow a=b=c=k\square$
Với điều kiện dấu bằng này thì liệu
$$ 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}\left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}=3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$

Mở rộng cho các bài 1,2,3,4 .
Bài 2: Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_1=\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}}+\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}}+\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}}$$
(Sáng tác ma29)
Bài 3: Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_2=\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}}+\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}}+\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}}+\left (\frac{m+n}{2} \right )\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
(Sáng tác ma29)
Bài 4:Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_3=\sum \left (\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}} \right )^{t}+\left (\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}} \right )^{t}+\left (\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}} \right )^{t}$$
trong đó $t=1+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}$
(Sáng tác ma29)
Như vậy thì từ bài toán 1 ta có thể sáng tác thêm vài bài phức tạp mà ma29 vẫn chưa giải được. Bài toán gốc đúng hay thì cũng không biết
Vẫn không có ai giải thích đúng sai


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Về vấn đề: Hỏi - Đáp NHANH CÁC BÀI TOÁN Phạm Kim Chung Hỏi và Giải đáp nhanh các bài Toán 9 11-12-2017 22:31
(Oxy chọn lọc) TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN OXY HAY VÀ KHÓ Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hình giải tích Oxy 1 28-05-2016 18:38
Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng Oxy qua đề thi thử THPT Quốc Gia Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hình giải tích Oxy 0 25-05-2016 23:46
Kỹ thuật ép biên trong bài toán tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phạm Kim Chung [Tài liệu] Bất đẳng thức 6 25-05-2016 18:14
Bài toán hay: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H(5;5). EF cắt BC tại P(8;0). M(9/2;7/2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. (Liệu có thể chứng minh PH dobinh1111 Hình giải tích phẳng Oxy 0 03-05-2016 12:44



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014